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Aufgaben zur Mengenlehre

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Beckx (Beckx)
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Junior Mitglied
Benutzername: Beckx

Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 17:45:   Beitrag drucken

Hi,

ich weiß gar nicht wie ich an die folgenden Aufgaben ran gehen soll. Ich lese mir dazu immer wieder die Definitionen durch aber dann etwas zu beweisen ist wirklich schwer.

1.)
a.) Es sei M eine Menge. Für jede Teilmenge N von M sei CN := M\N. Beweisen Sie: Für jede Familie (Mi)i e I von Teilmengen von M gilt:

C (Vereinigung Mi) = Durchschnitt(C Mi)

b) Es seien K, L, M, N Mengen. Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:

(M x N)\(K x L) = (M\K) x (N\L)

2.) Es seien M und N nichtleere Mengen. Zeigen Sie: Für jede Abbildung f: M -> N snd die folgenden Aussagen logisch quivalent:

i) Die Abbildung f ist bijektiv.
ii) Es gibt eine Abbildung g: N -> M mit der Eigenschaft:

g o f = idM und f o g = idN

Wär super wenn wir jemand helfen könnte.

Danke!

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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 92
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 22:04:   Beitrag drucken

Hallo Beckx
zu 1)
a) Ich zeig's dir mal an 2 Teilmengen, verallgemeinern kannst du's dann leicht selbst:
x e C(M1 u M2) (u: Vereinigungszeichen)
<=> x kein Element von M1 vereinigt mit M2
<=> x kein Element von M{-1} und x kein Element von M2
<=> x e CM1 geschnitten mit CM2

b) Ein gezeichnetes Gegenbeispiel:
MxN
(MxN)\(KxL) ist der gesamte Bereich von MxN außerhalb von KxL.
(M\K)x(N\L) ist nur der kleine schraffierte Bereich.
Denk dir M als Intervall [0;2], N ebenfalls, K als Intervall [0;1], L ebenfalls.
Dann ist MxN die Menge aller Paare mit Koordinaten aus [0;2]; KxL die Menge aller Paare mit Koordinaten aus [0;1]; und die Differenzmenge enthält dann alle Paare, deren 1.Koordinate zwischen 1 und 2 liegt oder deren 2.Koordinate zwischen 1 und 2 liegt.
(M\K)x(N\L) enthält aber alle Paare, deren 1. und 2. Koordinate zwischen 1 und 2 liegen.


Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 93
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 22:12:   Beitrag drucken

Zu 2)
"=>"
f ist bijektiv. Dann gibt es zu jedem y e M genau ein x e N mit f(x)=y. Die Abbildung g weise dann einfach jedem y e M eben das x e N zu, das von f auf y abgebildet wird. Die Abbildung g erfüllt die angegebene Bedingung.
"<="
Es gebe eine Abbildung g mit der angegebenen Bedingung. Dann sind f und g Umkehrabbildungen zueinander. Das bedeutet, dass es zu jedem y e M genau ein x e N geben muss mit g(y)=x und dass es zu jedem x e N ein y e M geben muss mit f(x)=y. Genau dann sind f (und g) aber bijektiv.
Mit freundlichen Grüßen
Jair

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