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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2821 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 09:37: |
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Hi allerseits, In der Aufgabe LF 65 ist wiederum die Gleichung einer Enveloppe zu ermitteln. Die Aufgabe lautet: Auf der x-Achse läuft der Punkt P(u/0). Die Gerade g verbindet P mit dem festen Punkt Q(0/q) auf der y-Achse. Der Winkel phi ist der Richtungswinkel von g, m = tan(phi) ihre Steigung. Die Gerade h geht durch P und hat die Steigung tan(½ phi), halbiert somit den Winkel phi. Welches ist die Hüllkurve der Schar der Geraden h, die entsteht, wenn u variiert? Hinweis zur Lösung Mit Vorteil verwendet man phi selbst als Parameter der Geradenschar, so dass in der Gleichung von h ausser x und y nur trigonometrische Funktionen von phi und ½ phi vorkommen. Zur Ermittlung der Enveloppe (!) leitet man partiell nach phi ab. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 661 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 11:29: |
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Hallo megamath, Wir haben tan j = - q/u. Setzen wir tan j/2 =: t, so ist - q/u = 2t/(1-t2) ==> u = (q/2)(t-1/t). Die Gleichung von h lautet h : y = t(x-u) <=> y = tx-(q/2)(t2-1). Die partielle Ableitung nach t gleich 0 gesetzt und nach t aufgelöst ergibt t = x/q. Die gesuchte Enveloppengleichung lautet damit y = (1/2q)(x2-q2) mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2823 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 13:20: |
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Hallo Orion,, Jetzt habe ich endlich die richtige Stelle gefunden,um das Folgende zu plazieren! Deine Lösung ist sehr elegant und führt schnell zum Ziel; sie ist gut nachvollziehbar. Nur scheinen die Vorzeichen eine Crux für uns Aufgabensteller und - löser zu sein! Aus meinem Resultat y = x^2 / (2q) + ½ q erkennt man sofort den Typus und die Art der Enveloppe. Es ist eine Parabel mit der y-Achse als Achse. Der Punkt S(0 /½ q) ist der Scheitel; der Punkt Q(0/q) ist der Brennpunkt, q der Parameter der Parabel. Nicht zuletzt: die x-Achse ist die Leitgerade, Direktrix oder directrice en français. Das vorliegende Resultat könnte man auch mit geometrischen Eigenschaften der Parabel direkt herleiten, auf analoge Weise, wie ich es in der Aufgabe LF 64 vorschlage. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 662 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 14:07: |
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Ja, natürlich y = (1/2q)(x2 + q2) ! mfG Orion
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