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Mira13 (Mira13)
Mitglied
Benutzername: Mira13
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Oktober, 2003 - 13:13: | 
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Hallo
Ich habe wiederum eine Aufgabe, bei welcher
ich um Hilfe bitten möchte.
Es sind zwei Induktionsbeweise durchzuführen.
a)
eine Folge mit dem allgemeinen Glied a(n) ist rekursiv
bestimmt:
a(0) = 2, a(n) = 2 – 1/ a(n-1)
für n > = 1.
Beweise mit vollständiger Induktion:
a(n) = (n+2) / (n+1)
b)
eine Folge mit dem allgemeinen Glied b(n) ist rekursiv
bestimmt:
b(0) = 1, b(n) = b(0) +b(1) + b(2) +……..+b(n-1)
für n > = 1
Beweise mit vollständiger Induktion:
b(n) = 2^(n-1) für n > = 1
Für Hilfen wäre ich sehr dankbar.
Mit freundlichen Grüßen
Mira
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2760
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Oktober, 2003 - 14:28: |
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Hi Mira,
Ich zeige Dir die Lösungen:
Zu a)
Verankerung: n = 1: a(1) = 2–1/a(0) = 2 – ½ = 3/2;
mit der Formel kommt dasselbe Resultat: (1+2) / (1+1) = 3/2.
Vererbung (Schluss von n auf n+1):
Ziel: Resultat Z für n + 1 : Z = (n+3) / n+1).
Induktionsschluss:
a(n+1) = 2 – 1 / a(n) = (nach Ind.voraussetzung) =
2 – (n+1) / (n+2) = (n+3) / (n+2) = Z , wzbw.
Zu b)
Verankerung: n = 1: b(1) = b(0) = 1;
mit der Formel kommt dasselbe Resultat: b(1) = 2^0 = 1
Vererbung (Schluss von n auf n+1):
Ziel: Resultat Z für n + 1 : Z = 2 ^ n.
Induktionsschluss:
b(n+1) = [b(0) +b(1) + b(2) +……..+b(n-1)] + b(n)
In der eckigen Klammer steht (schau genau hin) b(n),
so dass gilt:
b(n+1) = 2 * b(n), nach Induktionsvoraussetzung
also
b(n+1) = 2* 2 ^( n-1) = 2 ^ n = Z wzbw.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Meysam (Meysam)
Neues Mitglied
Benutzername: Meysam
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Dezember, 2003 - 13:32: |
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Hilfe, Hilfe,Ich brauche dringend Punkte
25: (4 Punkte)
Bestimmen Sie, falls existent, den Grenzwert der durch
an := n^2-n(1+1/n)^n /1+n^2
gegebenen folge und beweisen Sie Ihre Behauptung durch explizite Angabe eines n0(e)E N zu vorgegebene e>0
Ü 26
es sei (an)^unendlich eine Nullfolge zeigen Sie
a) (1+an/n)^n-------- 1
b) (1+an/n)^n0=1 + O(an)
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1866
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Dezember, 2003 - 16:55: |
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bitte Klammern, auch wenn bei
25)
nur
[n^2-n(1+1/n)^n ]/(n²+1) Sinn ergibt.
da
limn -> oo(1+1/n)^n = e ist also
limn -> oo[1 - (1+1/n)^n /n]/(1 + 1/n²) = 1/1 = 1
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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