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amir (amir24)
Neues Mitglied
Benutzername: amir24
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juni, 2003 - 10:38: | 
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Hallo,
wer von euch kann mir bei folgenden Aufgaben weiterhelfen?
1) Bestimmen Sie alle ganzen Funktionen f mit f(f(z)) = (f(z))^2 für alle z aus C.
2) Es seien f: D->C holomorph auf der offenen Menge D teilm. C und z_0 aus D, R > 0, Abschluss von K_R(z_0) teilm. D (Kreis mit Radius R um z_0).Zeigen Sie: Für alle aus K_R(z_0) gilt die Poissonsche Integralformel
f(z) = 1/2piR * Integral(über Rand vobn K_R(z_0)) (R^2 - |z - z_0|^2)/|s - z|^2 * f(s)|ds| |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 617
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juni, 2003 - 08:23: |
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amir,
Kurze Hinweise:
a) f (z) ganz :<=>
f(z) = a0+a1z+a2z2+...
wobei die Potenzreihe für alle zeC
konvergent. Mit f(z):= w soll für alle z gelten
a0 + a1w + a2w2+...= w2.
Koeffizientenvergleich : a2=1, alle übrigen
ak=0. Daher f(z)=z2.
b) Sei der Einfachheit halber z0=0.
Nach der Cauchy-Integralformel ist für ein
z innerhalb K
f(z) = (1/2pi)intK f(s)/(s-z) ds.
Der Punkt R2/z* (z*:= konjugierte von z)
liegt ausserhalb von K, daher (wieder Cauchy)
(1/2pi) intK f(s)/(s-R2/z*) ds = 0..
Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.
mfG Orion
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Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 618
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juni, 2003 - 10:09: |
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5{
a) Der gegebene Ansatz setzt stillschweigend voraus,
dass f(z) nicht konstant ist und erfasst somit nicht die
"trivialen" Lösungen f(z)=0 und f(z)=1.
b) Beachte, dass z ® R2/z* die Inversion (Spiegelung) von z am Kreis K ist.
mfG Orion
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amir (amir24)
Neues Mitglied
Benutzername: amir24
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juni, 2003 - 10:30: |
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Danke für Deine Anregungen.
mfG Amir |
