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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2114 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 14:18: |
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Hi allerseits Hier kommt sie, die Nummer XVI der lockeren Folge, diesmal zur Abwechslung aus der Analysis. Gegeben ist die Kurve y = - ln (1- x^2) a) Berechne die Bogenlänge L der kurve von A bis B; für A gilt x = 0, für B gilt x = p mit 0<p<1. b) Berechne für dasselbe x-Intervall die Fläche J = J(p) zwischen der Kurve und der x-Achse. Existiert der Grenzwert von J(p) für p strebt gegen 1? Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath
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Walter H. (mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 521 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 14:46: |
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a) y' = 2x/(1-x^2) 1 + (y')^2 = 4x^2/(1-x^2)^2 + (1-x^2)^2/(1-x^2)^2 = (4x^2 + 1 - 2x^2 + x^4)/(1-x^2)^2 = (1+x^2)^2/(1-x^2)^2 sqrt(1 + (y')^2) = (1+x^2)/(1-x^2) (1+x^2)/(1-x^2) = (-1+1+1+x^2)/(1-x^2) =-(1-1-1-x^2)/(1-x^2) = -1 - (-2)/(1-x^2) = -1 + 2/(1-x^2) 2/(1-x^2) = A/(1-x) + B/(1+x) 2 = A(1+x) + B(1-x) A+B = 2 A-B = 0 => A = B = 1 daher INT sqrt(1+(y')^2) dx = -x + ln(1+x) + ln(1-x) + C und die Bogenlänge ist ln(1-p^2)-p b) macht wer anderer
Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1310 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 15:02: |
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Hi Bei b) bekomme ich: J(p)=-p*ln(|1-p²|)-ln(|p+1|)+ln(|p-1|)+2p Für p gegen 1 als Fläche J(1)=-2*ln(2)+2 MfG C. Schmidt |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 745 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 15:03: |
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Hi, b) mach ich gerne! Das Integral lässt sich aufspalten: ò0 1 -ln(1-x^2) dx <=> -ò0 1 ln(1-x)+ln(1+x) dx J(p)=2p+[(1-p)*ln(1-p)]-[(1+p)*ln(1+p)] Das liefert mit dem bekannten Grenzwert lim p->1 (1-p)*ln(1-p) = 0 , den wie immer sehr schönen Wert: J= 2 - 2 ln 2 (~0,6137) {oder für Ästheten 2 - ln 4 } mfg @Christian: Zwei Dumme, ein Ergebnis *gg* (Beitrag nachträglich am 03., Juni. 2003 von tl198 editiert) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2115 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 15:08: |
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Hi Walter,Hi Christian Bravo; ich bin beruhigt,weil ich dieselben Resultate habe. Bis zum nächsten Mal!* MfG H.R.Moser,megamath |