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Wahrscheinlichkeit

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Maja (maja13)
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Benutzername: maja13

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 11:47:   Beitrag drucken

Hallo:
hab folgendes Problem, vielleicht könnt ihr mir ja helfen:

Seien X und Y exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Paramter \lambda = 1.
Ermittle die gemeinsame Dichtefunktion von U = X+Y und V = X/(X+Y).
Zeige weiters, dass V gleichverteilt ist auf [0,1].

DANKE!!

Maja
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Orion (orion)
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Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 596
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 21:36:   Beitrag drucken

Maja,

Denkanstoss: Wenn X die Dichtefunktion (DF)
f(x) hat, so hat X+Y die DF
fX+Y(u)= ò-¥ ¥f(u-y)f(y}dy.

Hier ist f(x):= 0 für x £0, f(x):=e-x für x>0, also

fX+Y(u) = ò0 ze-udy = u e-u. Für die Verteilungsfunktion (VF)

FX+Y(u) := P(X+Y£u) gilt also

FX+Y(u)=ò0 ut e-t dt=1-(u+1)e-u.
mfG Orion
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Maja (maja13)
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Benutzername: maja13

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Juni, 2003 - 22:07:   Beitrag drucken

Ja die Verteilung für U=X+Y hab ich eh schon geschafft.
Problematisch ist die Verteilung von V=X/(X+Y) und die GEMEINSAME Verteilung von U und V.
Ebenso die übrigen Probleme kann ich nicht klären.

Danke! Maja
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Orion (orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 597
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 02. Juni, 2003 - 14:43:   Beitrag drucken

Maja,

Vorschlag: X/(X+Y)<v <==>

Y=y & X<vy/(1-v);0<v<1.

F(v,y):=P(X<vy/(1-v)) = ò0 vy/(1-v) e-xdx

= 1-exp[-vy/(1-v)]

j(v,y):= F(v,y)/v

= y*exp[-vy/(1-v)]/(1-v)2.

fV(v) = ò0 ¥ j(v,y)*e-ydy =1

Rechne nach !
mfG Orion
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Maja (maja13)
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Neues Mitglied
Benutzername: maja13

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Montag, den 02. Juni, 2003 - 15:11:   Beitrag drucken

Danke, werd ich mal ausprobieren.
Hab noch ein 2. Problem, vielleicht weißt du da ja auch so gut bescheid:

Die Zufallsvariable X sei N(0,1) verteilt und sei a > 0. Zeige, dass die Zufallsvariable Y

Y = X falls |X| < a oder
Y = -X falls |X| >= a

ebenfalls N(0,1) verteilt ist und finde einen Ausdruck für Cov(X,Y).
Hat der Zufallsvektor (X,Y) eine bivariate Normalverteilung?

Danke, werd das draußen auch noch mal posten!

MfG! Maja
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Orion (orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 598
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 07:41:   Beitrag drucken

Maja,

Entgegen Deiner Annahme habe ich keinerlei spezielle
Kenntnisse auf diesem Gebiet, mache eigentlich alles
"from scratch" . Daher geht's ggf. etwas langsam, weil ich mir gewisse Begriffe erst selbst zusammensuchen muss.


mfG Orion
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Orion (orion)
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Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 599
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juni, 2003 - 18:24:   Beitrag drucken

Hier kommt noch etwas:

Sei F die N(0,1)-VF. Nimm zunächst y>0 an.

a) y<a : P(Y<y) = P(X<y) = F(y).

b) y >=a : P(Y<y) = P(-X<y)=P(X>-y)=F(y)

(rechne nach !). Analog, wenn y£0.


mfG Orion

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