| Autor |
Beitrag |
    
Panther (panther)
Junior Mitglied
Benutzername: panther
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Mai, 2003 - 11:55: | 
|
Hallo!
Ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich nicht weiterkomme:
Herr Schmidt löst bei einer Bank einen Scheck ein. Der Angestellte verwechselt die Anzahl der Euro mit denen der Eurocent und zahlt den entsprechenden Betrag aus. Anschließend gibt Herr Schmidt 68 Eurocent aus und stellt dann mit Erstaunen fest, dass er nun über doppelt soviel Geld verfügt, wie der Betrag des Schecks angab. Über welche Summe war der Scheck ausgestellt? |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 524
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Mai, 2003 - 15:04: |
|
Hi!
Wir setzen den Betrag auf dem Scheck folgendermaßen an:
x Eur
y ct (weil ct, y max. 99)
Der Betrag in ct lautet daher allgemein:
100x + y
Die Gleichung ebenso in ct ansetzen:
100y + x - 68 = 2*(100x + y)
100y + x - 68 = 200x + 2y
98y = 199x + 68
------------------
(UND 0 <= y < 100)
Diese Gleichung ist diophantisch, weil sie im ganzzahligen (positiven) Bereich zu lösen und nur eine Gleichung (in 2 Variablen) vorhanden ist. Ausserdem gilt die Einschränkung y < 100.
Geometrisch sind auf einer Geraden mit der Gleichung
y = 199x/98 + 68/98
alle in Frage kommenden Punkte (0 <= y < 100) mit positiven, ganzzahligen Koordinaten zu ermitteln.
Setze x = t (t .. Parameter)
y = (199/98)t + 68/98
Wir suchen nun jene t, für die der Ausdruck für y ganzzahlig wird; da 199 kongruent 3 mod 98 ist (199 hinterläßt bei Division durch 98 den Rest 3) kann man ein t ermitteln mit
3t + 68 = 98
t = 10
======
Wir erhalten: y = (1990 + 88)/98 = 21 und x = t = 10
t = 10 ist die einzige in Frage kommende Lösung, der nächste ganzzahlige Wert wäre (um 98 mehr) gleich 108, das ist schon über 100.
L = {10; 21}
Der Betrag war also 10,21 €, der irrtümlich ausbezahlte Betrag 21,10 €, d.s. um 0,68 € mehr als das Doppelte von 10,21 €.
Gr
mYthos
|
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 561
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Mai, 2003 - 15:44: |
|
Panther,
Bezeichnet x die Anzahl € und y dieAnzahl €-Cent,
so ist
A= 100x+y
der Wert des einzulösenden Schecks in €-Cent.
Vertauscht man x und y, so entspricht dies dem
Betrag
B = x+100y.
Nach Aufgabenstellung soll B-68=2A, d.h.
98y-199x=68 ; 0 £ x,y £ 99
sein. Die Gleichung hat unendlich viele ganzzahlige
Lösungen, nämlich (Rechne nach !)
x = 98t+10, y = 199t+21 , t ganzzahlig.
Offenbar ist nur t=0 brauchbar.
mfG Orion
|
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 525
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Mai, 2003 - 21:02: |
|
@Orion,
die 10 und 21 hast du durch try & error ermittelt, das ist aber die Crux bei diesem Beispiel, weil es hier schwierig ist, ein ganzzahliges Anfangspaar in der Parameterdarstellung zu erraten. Daher der etwas andere Lösungsweg mittels der Kongruenz.
Im Allgemeinen wird aus der zugehörigen homogenen Gleichung
199x - 98y = 0
die Lösung in Parameterform berechnet:
x = 98t, y = 199t; t € Z
und durch Addition zu einer partikulären Lösung - diese ist eben (10;21) - die Gesamtlösung der inhomogenen lin. Gleichung erreicht.
Ansonsten war aber dein Ansatz gleich wie meiner ...
Gr
mYthos
|
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 562
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Mai, 2003 - 22:23: |
|
mythos,
nein, nicht trial & error sondern Euklid-Algorithmus , was ich allerdings hier
nicht ausgeführt habe.
Deinen Beitrag hatte ich noch nicht gelesen,als ich den meinigen verfasste,
andernfalls hätte ich ihn natürlich nicht publiziert.
mfG Orion
|
Panther (panther)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: panther
Nummer des Beitrags: 68
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juli, 2003 - 13:10: |
|
Hallo!
Wie kommt ihr auf 10 und 21?
Ich habs auch versucht, aber bei mir kommen andere Ergebnisse raus, nämlich:
x = -2244 und y = -4556
Durch die Probe erhalte ich, dass diese auch stimmen:
-199*(-2244) - 98*4556 = 68
Wo liegt mein Fehler?
Kann mir das bitte nochmal jemand erklären? |
Panther (panther)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: panther
Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juli, 2003 - 13:15: |
|
Habe jetzt mal versucht, die Gleichung -199x + 98y = 68 umzuformen => -119x=68(mod98)
Dann habe ich für x = 10 rausbekommen und dies wieder in die obere Gleichung eingesetzt und dann für y = 21 erhalten.
Darf ich das so rechnen?
Kann mir trotzdem jemand meine vorherige Frage beantworten? |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 629
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juli, 2003 - 14:22: |
|
Panther,
Allgemein gilt: Die Lösungsmenge L einer linearen diophantischen Gleichung ax+by=c ist genau dann
nicht leer, wenn d:= ggt(a,b) | c, und dann ist
L = { (x,y) | x=x0+tb/d,y=y0-ta/d, t€Z }.
Dabei ist (x0,y0) eine beliebige Lösung von
ax+by=c, und t ein ganzzahliger Parameter. Geometrisch heisst dass: L besteht aus den Gitterpunkten einer Geraden durch den Punkt
(x0,y0), mit der Steigung m=-a/b in der (x,y)-Ebene. Ob man im vorliegenden Fall (x0,y0)
=(10,21) oder (-2244,4556) als "Aufpunkt" wählt, oder
wie man diesen findet, ist unerheblich. Ggf. muss man,
um spezielle Lösungen auszusondern, geeignet über t
verfügen.
mfG Orion
|
Panther (panther)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: panther
Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juli, 2003 - 20:45: |
|
Danke Orion!
Jetzt hab ichs auch kapiert....
Vielen Dank nochmal...... und drück mir am Dienstag für meine Klausur die Daumen......
Daniela |
dfsdfbbg
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Juni, 2007 - 00:28: |
|
*gelöscht wegen sinnlosem Eintrag* |
Dörrby
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Juni, 2007 - 14:19: |
|
Fürchte, wir haben hier ein Spam-Maschinen-Problem....
Dörrby |
sdvcbbbvb
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Juni, 2007 - 13:19: |
|
*gelöscht, da sinnlos* |
|
