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clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. August, 2005 - 21:37: | 
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Hallo,
habe eine frage zum folgenden beweis:
an=sqrt(n)
das buch sagt, dass die folge durch K=1 nach unten beschränkt ist. Nachweis:
an>1 --> sqrt n > 1 --> n> 1
ich hatte mir aber überlegt, dass die folge durch k=0 beschränkt ist. denn dann gilt der beweis genauso... könntet ihr mir vielleicht sagen, wieso k = 1 ist und nicht k=0??
und dann wollte ich noch fragen, ob man die schranken nur herausfinden, kann, wenn man den graphen zeichnet, oder ob das auch ohne geht. und wenn es ohne geht, WIE??
bitte helft mir!!
clara |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1875
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. August, 2005 - 23:15: |
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Hallo Clara
Deine Folge ist offenbar durch 1 und durch 0 nach unten beschränkt(Die Folge ist durch jede Zahl £1 nach unten beschränkt, weil alle Folgenglieder ³1 sind). 1 ist allerdings die größte untere Schranke (Infimum) und daher schon ein wenig ausgezeichnet unter den unteren Schranken.
und dann wollte ich noch fragen, ob man die schranken nur herausfinden, kann, wenn man den graphen zeichnet, oder ob das auch ohne geht. und wenn es ohne geht, WIE??
Sicherlich geht es auch ohne zeichnen. Hier benutzt du am besten, dass deine Folge monoton wächst, d.h. die Folgenglieder werden immer größer. Dann ist immer a1 eine (größte) untere Schranke.
MfG
Christian |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. August, 2005 - 18:04: |
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ok, danke!!
clara |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. August, 2005 - 18:59: |
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hallo, ich hab hier 2 aufgaben, die eine habe ich bearbeitet (wäre nett, wenn ihr die nachgucken könntet, weil ich mir ziemlich unsicher bin), aber die andere verstehe ich nich. könnte mir vielleicht jemand von euch behilflich sein:
untersuch die Folge an auf monotonie und auf schranken.
a.) an=(n+1)/n monoton fallend; untere schranke: 1
b.) an=3*n-100 monoton steigend; keine schranken
c.) an=(3/4)^n monoton fallend; obere Schranke: 1
d.) an=Anzal der positiven Teiler von n -- keine Ahnung
e.) an=n²-10+27 keine schranken, über die monotonie kann ih nichts aussagen, weil das mit der wertetabelle irgendwie total komische werte ergibt.
f.) an=sqrt(n+1) -sqrt(n) monoton steigend; untere schranke: 0
2) gebe eine folge (an) an, die
a) monoton wächst und K03 als kleinste obere Schranke besitzt
b) weder eine obere noch eine untere Schranke besitzt.
bei der 2. aufgabe wäre mir der lösungsweg extrem wichtig, weil ich bei diesem schrankenzeugs gar nicht durchblicke. und was heißt bei a.) "KLEINSTE obere Schranke"??
könnntet ihr mir bitte wieder helfen?? wäre sehr lieb von euch.
mfg
clara |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1383
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. August, 2005 - 21:04: |
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da ich mal annehme, daß n nur positiv und ganzzahlig sein soll; daher:
1. a.) infimum=1, supremum=2, limes=1, streng monoton fallend
b.) infimum=-97, divergent, streng monoton steigend
c.) infimum=0, supremum=1, limes siehe weiter unten, streng monoton fallend
d.) infimum=1, divergent, keine monotonie
e.) infimum=2, divergent, für n>=5: streng monoton steigend
f.) infimum=0, supremum=1, limes siehe weiter unten, monotonie siehe weiter unten
bei 1. b) ist -97 untere schranke, die is divergent
1. c.) limes: (3/4)^n = 3^n / 4^n = e^(n*ln(3)) / e^(n*ln(4)) = e^(n*(ln(3)-ln(4))
lim [n->inf] n*(ln(3)-ln(4)) = -inf
=>
lim [n->inf] e^(n*(ln(3)-ln(4))) = 0
1. f.) limes: sqrt(n+1) - sqrt(n) = (sqrt(n+1) - sqrt(n)) * (sqrt(n+1) + sqrt(n)) / (sqrt(n+1) + sqrt(n)) = (n+1-n)/(sqrt(n+1) + sqrt(n)) = 1/(sqrt(n+1) + sqrt(n))
lim [n->inf] 1/(sqrt(n+1) + sqrt(n)) = 0
1. f.) monotonie: sqrt(n+1) - sqrt(n), ich vermute streng monoton fallend, daher zu zeigen dass a_<n+1> < a_n gilt
sqrt(n+2) - sqrt(n+1) < sqrt(n+1) - sqrt(n)
sqrt(n+2) + sqrt(n) < 2sqrt(n+1)
n+2+n + 2sqrt(n+2)sqrt(n) < 4(n+1)
2n+2 + 2sqrt(n+2)sqrt(n) < 4n+4
2sqrt(n+2)sqrt(n) < 2n+2
sqrt(n+2)sqrt(n) < n+1
(n+2)n < n^2+2n+1
n^2 + 2n < n^2 + 2n + 1
das gilt immer
hier war quadrieren eine Äquivalenzumformung, weil beide Seiten garantiert positiv waren
daher, streng monoton fallend
2. a.) streng monoton wachsend und infimum=3, wenns divergent sein darf, dann nimm einfach
a_n = n + 2
b.) a_n = n * (-1)^n
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. August, 2005 - 21:17: |
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woho, könntest du ir vielleicht erklären, was infimum, supremum, limes, und divergent bedeutet?? habe von den begriffen noch nie was gehört. sollt ich das wissen? ich komme nach den ferien erst in die 11. klasse!! (ich übe schon mal vorher ein bisschen, kann bei meinen mathekenntnissen ja nicht schaden *g*)
ach ja, DANKE für deine mühe (das hätte ich fast vergessen!)
hoffe du antwortest mir!!
clara |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1384
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. August, 2005 - 21:24: |
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such mal im Wikipedia nach diesen Begriffen, dort findest die besser erklärt als ich des in 3 Worten kann:
infimum ... größte aller unteren Schranken
supremum ... kleinste aller oberen Schranken
limes ... Grenzwert: Häufungspunkt den fast alle Folgenglieder annehmen; fast alle = alle bis auf endlich viele;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1385
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. August, 2005 - 21:27: |
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a_n = (-1)^n ist ein paradebeispiel dafür, daß beschränkt nach oben und unten nicht unbedingt konvergent heißt; diese Folge ist divergent, denn es gibt 2 Häufungspunkte, einen bei -1 und einen bei +1
konvergent ... es existiert ein Grenzwert (limes)
divergent ... es existiert kein Grenzwert im endlichen; man spricht auch bei über allen Grenzen wachsenden Folgen von divergent
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. August, 2005 - 08:47: |
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Ich danke dir vielmals!!
clara |
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