| Autor |
Beitrag |
    
Thuriferar783 (Thuriferar783)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Thuriferar783
Nummer des Beitrags: 200
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 20:36: | 
|
Hi!
Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:
Sqrt(3)*sin(x) + cos(x) = -Sqrt(2)
Könnte mir jemand diese Gleichung lösen und - wenn möglich - alle erforderlicen Zwischenschritte angeben?
Vielen lieben Dank! |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2985
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 22:09: |
|
Hi Thuriferar
ich habe eine wunderschöne Methode zur Lösung Deiner Gleichung in petto
Aus Zeitgrünen kann ich Dir das erst morgen früh zeigen!
MfG
H.R.Moser,megaamth |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1692
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 22:16: |
|
dazu ist es nützlich, sich folgendes zu vergegenwärtigen:
a*cosx + b*sinx = Sqrt(a²+b²)*sin[x + arctan(b/a)]
hier also a=1, b=Sqrt(3), Sqrt(a²+b²)=2,
b/a = Sqrt(3) = tan(60°)
somit
Sqrt(3)*sin(x) + cos(x)= 2*sin(x+60°) = -Sqrt(2)
sin(x+60°) = -Sqrt(2)/2 = sin(-45°) = sin(315°)
x+60° = -45°; x = -105°
gibt vielleicht noch Nebenwerte, aber die findest Du
selbst.
---
sorry HRM to be here before you - 'hope 'did no HaRM
(Beitrag nachträglich am 11., November. 2003 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2987
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 07:05: |
|
Hi Thuriferar
Motto: festina lente !
Wie versprochen, zeige ich Dir die rechnerische Lösung
der Aufgabe; es gibt daneben auch eine grafische Lösung,
um die wir uns aber nicht kümmern wollen.
Gesucht werden alle Lösungen im Intervall
0<=x<2Pi.
Die Lösungen sind, dies sei vorweggenommen:
x1 = 13/12 Pi
x2 = 19/12 Pi
Lösung
Dividiere die ganze Gleichung durch sqrt(3):
sin(x) + cos(x)/ sqrt(3) = - sqrt(2/3)
Führe den Hilfswinkel t ein durch die Beziehung
tan t = 1/sqrt(3); daraus folgt übrigens
t = Pi/6, daraus cos t =1/2 sqrt(3)
(diesen Wert brauchen wir bald).
Die Gleichung lautet nun
sin x + tan t cos x = - sqrt(2/3) oder
sin x cos t + sin t cos x = - ½ sqrt(2)
Mit dem Additionstheorem des Sinus kommt:
sin (x + t) = -½ sqrt(2), also
x1+t = 225°, x2 + t = 315°, schließlich
x1= 195°, x2 = 285°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2990
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 10:26: |
|
Hi Friedrich,
Hast Du bemerkt,dass Dein Resultat
x = - 105° nicht stimmt !
Eile mit Weile !
Herzliche Grüsse
HRM |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1696
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. November, 2003 - 14:12: |
|
ach ja, natürlich a=Sqrt(3), b=1, z = 30°
x + 30° = -45° = 315°
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
|
