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Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 1999 - 01:00: | 
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Wer kann mir mal richtig erklären was ein Grenzwert ist;wenn's geht so daß ich auch den Grenzwert von (1/sin(1/n))-1/n finden kann. |
Andreas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 1999 - 15:23: |
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Leider hat dein schöner Ausdruck keinen Grenzwert, und niemand kann dir erklären, wie du etwas berechnen kannst, das es nicht gibt. Aber zumindest zu einer "Art" von Grenzwerten will ich dir gerne ein bisschen was erzählen.
Also du hast da ja ein nettes Beispiel genannt. Das ist ja ein Ausdruck, der von n abhängt. Das heißt du kannst jede natürliche Zahl einsetzen und wirst immer irgendeinen Wert bekommen. Manchmal ist es nun so, dass sich dieser Wert beim Einsetzen immer größerer natürlicher Zahlen an eine gewisse Zahl z annähert. Genaugenommen bedeutet das, dass man sich einen beliebig kleinen Spielraum um z vorgeben kann, z.B. den Bereich von z-0,0001 bis z+0,0001 und dann muss dein Ausdruck von einem gewissen n an immer Werte innerhalb dieses Spielraumes ergeben. Also wenn das funktioniert, dann sagt man, dass z der Grenzwert für deinen Ausdruck ist.
Beispiel (3+n^2)/(4-n^2)
Wenn du hier riesenhafte Werte für n einsetzt, dann hast du im Zähler nur eine lächerliche Abweichung von n^2 und im Nenner nur eine lächerliche Abweichung von -n^2. Der ganze Bruch liegt dann also sehr nahe bei -1. Der Grenzwert ist -1.
Nun gibt es zum finden von Grenzwerten für manche Spezialfälle zwar ganz witzige Tricks, ein allgemein funktionierendes verfahren gibt es jedoch leider nicht.
In deinem Beispiel wird der Teilausdruck (1/n) für sehr große n so gut wie Null sein. Und sin(1/n) ist folglich in der Nähe von sin(0), was wiederum 0 ist. Aber was soll dann 1/sin(1/n) werden? Ein Bruch, in dessen Nenner etwas steht, das beinahe 0 ist. Das gibt leider nichts vernünftiges, sondern nur explodierende Zahlenwelten.
Habe ich dir ein bisschen helfen können? |
Helmut
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 1999 - 15:47: |
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Super Erklärung !!
Helmut |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 1999 - 16:08: |
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Nur mal so der Interesse halber:
Wie sieht's eigentlich mit [1/sin(1/n)]-n aus? |
Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 1999 - 00:52: |
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Wenn man ein paar Werte einsetzt (n=100,200,1000...) kommt man schnell auf lim(1/sin(1/n)-n)=0
Beweisen kann man dies bespielsweise über die Reihenentwicklung sin(x)=x-1/3!x3+1/5!x5+-...
daraus ergibt sich nämlich
(1) sin(x)<x
(2) sin(x)>x-1/6 x3
also für die Grenzwertbetrachtung
(1') 1/sin(1/n)>1/(1/n)
(2') 1/sin(1/n)<1/[1/n-1/(6n3)]
d.h. 0= 1/(1/n)-n < (1/sin(1/n)-n) < 1/[1/n-1/(6n3)]-n=1/[(6n2-1)/(6n3)]-n=6n3/(6n2-1)-n = n/(6n2-1)
Für den Grenzwert erhält man daraus :
0 < lim (1/sin(1/n)-n) < lim(n/(6n2-1))=0 wobei statt < auch = gelten könnte .
Es folgt somit lim(1/sin(1/n)-n)=0 |
Andreas
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 1999 - 17:11: |
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Schön gezeigt, Ingo, aber vielleicht ein bisschen akademisch. Worauf es hierbei ankommt, kann man auch ganz anschaulich sagen:
Wenn man das Schaubild vom Sinus anschaut, dann sieht man, das die erste Winkelhalbierende y=x eine Tangente ist, dass also für x-Werte, die ganz, ganz nahe bei 0 liegen, sin(x) praktisch gleich x ist. Das kann man übrigens auch mit dem Taschenrechner sehen (Achtung erst auf Bogenmaß stellen RAD).
Also, wenn das so ist, dann muss für große n sin(1/n) fast gleich 1/n selbst sein. Und dann ist klar, dass 1/sin(1/n)-n sich kaum von 0 unterscheidet.
Ich weiss, du hast ja eigentlich genau das gesagt, aber hinter der mathematischen Exaktheit ist die klare Idee manchmal nur noch schwer zu erkennen.
Andreas |
Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 1999 - 19:26: |
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Hi Andreas,
Du weißt,daß ich Akademiker bin,aber ich habe mit dem ersten Satz trotzdem das Schüler-Übliche Vorgehen beschrieben (einsetzen ==> Grenzwert).
Ich muß allerdings zugeben,daß Deine Erklärung ein schöner Mittelweg zwischen vager Vermutung und möglichst exakter Erklärung ist. |
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