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Katrin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 14:45: | 
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Also ich habe folgendes Problem:
Wäre sehr nett wenn mir wer helfen würde.
Wie lautet die Gleichung jenes Kreises der die Parabel y²=100x in den Punkten P=(16/40) und
Q=(16/-40) berührt?
Danke! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 16:45: |
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Hi Katrin ,
Die beiden Parabelpunkte P und Q liegen bezüglich
der x-Achse symmetrisch.
Da die x-Achse zugleich Parabelachse ist, schneiden
sich die Parabeltangenten u ( Berührungspunkt P ) und
v ( Berührungspunkt Q ) auf der x-Achse.
Weil der gesuchte Kreis die Parabel in P und Q berühren
soll, sind u und v auch Kreistangenten.
Der Mittelpunkt M des Kreises liegt auf der Winkelhalbierenden
der Tangenten u und v, somit also der x-Achse.
Wir erhalten somit den Mittelpunkt des Kreises als Schnittpunkt
der x -Achse mit der im Punkt P zur Tangente u errichteten
senkrechten Geraden s (Durchmessergerade).
Ausführung
Die Steigung m1 der Parabeltangente u in P mittels der
Ableitung der Parabelgleichung nach x:
2 y y' = 100
(für die Ableitung der linken Seite nach x wurde die
Kettenregel benützt: Ableitung nach y gibt 2y
mal Ableitung y' von y nach x).
y-Koordinate von P, y = 40, eingesetzt ergibt : m1 = y' = 5 / 4
Die Steigung m2 des Berührungsradius PM des Kreises ist
dazu wegen der Orthogonalität entgegengesetzt reziprok, also:
m2 = - 4/5
Gleichung der Gerade PM:
y - 40 = m2 * ( x - 16)
Schnitt mit der x-Achse: y = 0 setzen und nach x auflösen,m2
durch - 4 / 5 ersetzen, führt auf den x-Wert des Mittelpunktes;
xM = 66, also M( 66 / 0 )
Der Kreisradius r ist gleich dem Abstand MP, somit:
r ^ 2 = (66-16)^2 + (40 - 0)^2 = 4100
Damit erhalten wir die Kreisgleichung:
( x - 66 ) ^ 2 + y ^ 2 = 4100
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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