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KathrinStemmler
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 10. Juni, 2002 - 09:19: |
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Hallo! Kann mir jemand zeigen, wie ich folgende Aufgabe löse? Die reele oder komplexe Zahlenfolge (Xn) erfülle folgende Bedingung (B): Es gibt ein q E [0,1[, ein C E R (relle Zahlen), C>0, und ein N E N (natürliche Zahlen), so dass für alle n E N (natürliche Zahlen) mit n >= N gilt: (B) |Xn+1 - Xn| <= Cq^n Wäre echt klasse, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte! Viele Grüße und besten Dank von Kathrin |
KathrinStemmler
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juni, 2002 - 10:41: |
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Hallo Ich muss die Aufgabe bis heut abend haben, kann mir bitte jemand zeigen wies geht? BITTE Kathrin |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 261 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juni, 2002 - 14:24: |
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Kathrin : Für beliebige n , k in IN gilt | x(n+k) - x(n) | = | x(n+k) - x(n+k-1) + x(n+k-1) - x(n+k-2) + ... + x(n+1) - x(n)|. Nach der Dreiecksungleichung ist dies =< |x(n+k)-x(n+k-1)| + |x(n+k-1)-x(n+k-2)| +...+ |n(n+1)-x(n)|. Schätzt man jeden dieser k-1 Summanden gemäss (B) ab, so hat man |x(n+k}-x{n}| =< C*{q^(n+k-1)+...+q^n} = C*q^n*(1-q^k)/(1-q) (geometrische Reihe !) =< (C/(1-q)*q^n. Wegen 0 =<q < 1 ist lim[n->oo]q^n = 0, d.h.: Zu gegebenem eps > 0 gibt es N in IN sodass |x(n+k)-x(n)| < eps für alle n > N. Die Folge (x(n)) ist somit eine Cauchyfolge, also (Vollständigkeit vin IR !) konvergent. mfg Orion |
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