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Beitrag |
    
Johannes Fordemann (Jofo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 22:28: | 
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Hallo, ich habe Probelme mit folgender Aufgabe,
ich hoffe jemand kann mir helfen:
gegeben sei eine kubische Funktion (3.Grad)
y=ax^3+bx^2+cx+d mit a <> 0
So ein Graph dieser Funktion at oft die Form einer "S-Kurve" mit 2 Extrema und einem Wendepunkt.
a)
Wann existieren genau 2 Extremwerte (Bedingungen für a,b,c,d)
b)
Zieht man eine Tangente durch das Eine Extremum , so entsteht eine Fläche die von der Kurve und der Tangente begrenzt ist.
wenn z.b. die Tangente durch das "erste Extremum" gezeichnet wird,
gilt: h = Abstand von Tangente zum 2. Extremum
g = länge der Tangente von Extremum 1 bis die gearde die Kurve wieder schneidet.
(hoffe dass ist verständlich...)
So, mit diesen beiden Werten (g,h) lässt sich mit der Formel A = k*h*g der Flächeninhalt berechen?
Wie Sieht der Faktor k aus?
also ich hoffe mir kann jemand helfen!
Jo. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 22:29: |
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Hi Johannes,
a)
y ( x ) = a x ^ 3 + b x ^ 2 + c x + d sei die gegebene
kubische Funktion.
Aus der Ableitung
y' (x) = 3 a x ^ 2 + 2 b x + c erkennt man, dass genau
zwei verschiedene Nullstellen für y'(x) und damit
genau zwei Extremalstellen existieren, wenn die Diskriminante
D = 4 b^2 - 12 a c = 4 * ( b ^ 2 - 3 a c ) positiv ist
Die notwendige und hinreichende Bedingung für zwei Extrema
lautet :
b ^ 2 > 3 a c .
u und v seien die beiden verschiedenen Nullstellen von y'(x)
Dann gilt: für die erste Ableitung:
y ' = 3a * (x - u)* (x - v) = 3a * [ x^2 - u x -v x +u*v]
Die zweite Ableitung lautet:
y ' ' = 3a* [2 x - u - v ] , also gilt für die Extremalstellen:
y '' (u) = 3 a * ( u - v )
y '' (v) = 3a * ( v - u )
Diese letzteren beiden Werte sind sicher von null verschieden,
der positive liefert das relative Minimum ,
der negative das relative Maximum der kubischen Funktion
b) Der gesuchte Wert ist k = 9 / 16 und sieht gut aus !
Herleitung demnächst in diesem Forum
Bis dann !
Freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 08:32: |
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Hi Johannes,
b)
Das Koordinatensystem werde so gewählt, dass
der Nullpunkt mit einem Extremalpunkt der
Funktionskurve zusammenfällt und die x-Achse
somit Tangente der Kurve ist
Die Gleichung der Kurve kann so angesetzt werden:
y = a * x ^ 2 * ( x - g ) ;
x1 = x2 = 0 ist eine doppelte Nullstelle
(Berührung der x-Achse!) ;
die dritte Nullstelle ist - entsprechend dem Text der Aufgabe-
x3 = g.
Wir können sogar a = - 1 setzen ( zweckmässige Wahl !) ,
denn diese Konstante hebt sich im Schlussresultat weg.
Dies hängt damit zusammen, dass die gesuchte Konstante k
gegenüber affinen Abbildungen
(normale Affinität mit x-Achse als Affinitätsachse)
invariant ist.
Somit verwenden wir die Gleichung
y = - x ^ 2 * (x - g) = - x ^ 3 + g* x ^ 2 .
Wir berechnen den zweiten Extremalpunkt E( u / h );
Dabei ist u die von x = 0 verschiedene Nullstelle
der ersten Ableitung y ' = - 3 * x ^ 2 + 2 * g * x ; somit gilt:
u = 2 * g / 3 .......................................................................(1)
damit kommt
h = y(u) = - u ^ 2 * ( u - g ) = 4 / 27 * g ^ 3 ,....................(2)
wenn Gleichung (1) benützt wird
Nun berechnen wir die in der Aufgabenstellung genannte
Fläche A als Integral
A= int[ (-x^3 + g*x^2)*dx],untere Grenze 0 , obere Grenze g
Wir finden sofort:
A = - g ^ 4 / 4 + g ^ 4 / 3 = g ^ 4 / 12...................................(3)
Aus der Gleichung A = k*h*g berechnet man mit (2) & (3):
k = A / (h*g) = 27 / 48 = 9 /16 als Schlussresultat.,
wie bereits angekündigt wurde,
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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