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Julian Harnath (Julianh)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 16:09: |
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Hallo! Ich habe gleich 2 Probleme, je eins mit einer Aufgabe... Also: 1. Aufgabe: Es ist ein Dreieck mit ABC gegeben. A(0|0) B(6|0) c(0|8) Bestimmen sie die Gleichungen der Seitenhalbierenden ga gb gc, prüfen sie ob allen Geraden sich in einem Punkt schneiden und bestimmen sie diesen gegebenfalls (algebraisch). Problem 1: Wie bestimme ich die Gleichungen der Höhen?? Problem 2: Wie bestimme ich den Schnittpunkt von 3 Geraden? Bei 2 Geraden einfach die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen.... aber bei 3?? --- 2. Aufgabe: Welcher Kreis K1 geht durch die Punkt P1(1|3) und P2(1|-3) und berührt den Kreis K2: (x-5)^2+(y+3)^2=4 ? Mein (unvollständiger) Ansatz: K1: (x-xm)^2+(3-ym)^2=r^2 P1 liegt auf K1: (1-xm)^2+(3-ym)^2=r^2 P2 liegt auf K2: (1-xm)^2+(-3-ym)^2=r^2 Der Berührpunkt erfüllt beide Kreisgleichungen: B(bx/by) B element K1: (bx-xm)^2+(by-ym)^2=r^2 B element K2: (bx-5)^2+(by+3)^2=4 Daraus kann ich jetzt sicher irgendwie ein Gleichungssystem aufstellen - ich weiss aber nicht genau, wo ich anfangen soll :-( Julian |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. November, 2000 - 12:07: |
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Hi Julian Zu Deiner ersten Aufgabe (Achtung : Dreieckshöhen sind nicht verlangt!) Die Gleichungen der drei Seitenhalbierenden oder Schwerlinien lauten: ga: y = 4/3 x gb: y = - 2/3 x + 4 gc: y = - 8/3x + 8 Das zu finden, ist easy ! Nun schneidest Du ga mit gb , und Du bekommst den Schnittpunkt S(2 ; 8/3), Jetzt zeigst Du, dass auch sc durch diesen Punkt geht durch Einsetzen der Koordinaten von S in die Gleichung von sc . S ist übrigens der Schwerpunkt des Dreiecks . Man findet seine Koordinaten auch, indem man der Reihe nach die Koordinaten der drei Ecken mittelt. Zweite Aufgabe Zwei Begriffe voraus: 1) Zwei Kreise heissen konzentrisch, wenn sie den gleichen Mittelpunkt haben.- 2) Eine Gerade heisst Mittelsenkrechte der Strecke P1 P2 , wenn sie durch den Mittelpunkt dieser Strecke geht und auf ihr senkrecht steht- Da der gesuchte Kreis c durch die Punkte P1 und P2 geht, liegt sein Mittelpunkt M auf der Mittelsenkrechten der Strecke P1P2; netterweise ist das gerade die x-Achse, Die y- Koordinate v von M ist null; wir brauchen nur die x- Koordinate u und den Radius r von c zu bestimmen Ein Ansatz für die Gleichung von c lautet demnach: ( x - u) ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2...........................................................(1) Da der Kreis c den gegebenen Kreis K2 mit Mittelpunkt M2 ( 5 / - 3 ) und Radius r2 = 2 berühren muss, geht der zu c konzentrische Kreis c* , dessen Radius um r2 = 2 grösser ist , also r + 2 misst , durch den Mittelpunkt M2. Die Gleichung dieses Kreises c* lautet : ( x - u ) ^ 2 + y ^ 2 = (r + 2 ) ^2 ...................................................(2) Jetzt setzen wir die Koordinaten der Punkte in die Kreisgleichungen ein: P1 ( 1 / 3 ) in die Gleichung (1) des Kreises c (1 - u) ^ 2 + 9 = r ^ 2 , vereinfacht: 10 - 2u + u^2 = r^2........................................................................(3) M2 ( 5 / -3 ) in die Gleichung (2) des Kreises c* (5-u)^2+ 9 = (r + 2) ^ 2 , vereinfacht 30 - 10 u + u^2 = r^2 + 4r.............................................................(4) Gesucht werden u und r. Durch Subtraktion der Gleichungen (3) und (4) werden u^2 und r^2 eliminiert; Es bleibt r = 5 - 2u. Setzen eir dies in Gleichung (3) ein ,so erhalten wir eine quadratische Gleichung für u: u ^ 2 - 6 u + 5 = 0 mit den Lösungen u1 = 1 und u2 = 5 Die zugehörigen Radien sind r1 = 3 und r2 = 5 Man bestätige das Resultat mit einer grafischen Darstellung Die Gleichungen der gesuchten Kreise lauten: (x-1)^2 + y^2 = 9 (Berührung von aussen) (x-5)^2 + y^2 = 25; dieser Kreis umschliesst den gegebenen. Mit freundlichen Grüssen. H.R.Moser,megamath. |
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