| Autor |
Beitrag |
    
Inge
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 21:13: | 
|
Kann ich die Höhe und den Radius eines Zylinders ausrechnen, wenn ich nur das Volumen und die Oberfläche angegeben bekommen habe?
Beispiel habe ich leider nicht, aber vielleicht fällt euch ja was ein, wie ihr mir das erklären könnt.
Danke !
Inge |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 01:01: |
|
Hi Inge!
Ich habe mich mal mit Deiner Frage beschäftigt, auch auf die Gefahr hin, dass die Antwort die Klassenstufe 8-10 etwas übersteigt...
Für einen Zylinder gelten die Gleichungen
O=2pi*r*(h+r)
und
V=pi*r²*h
Oberfläche O und Volumen V seien gegeben, dann bleiben zwei Unbekannte, den Radius r und die Höhe h. Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, das sieht also auf den ersten blick ganz gut aus.
Bleibt nur die Frage, wie man das am Besten anstellt...
Beispielaufgabe:
=============================================
Die Oberfläche betrage 10pi Quadratmeter
Das Volumen sei 4pi Kubikmeter.
Gesucht ist der Radius.
10pi m²=2pi*r*(h+r)
4pi m³=pi*r²*h
Die untere Gleichung kann man nun nach h auflösen:
h=4m³/r²
und in die obere einsetzen:
10pi m²=2pi*r*(4m³/r²+r)
und vereinfachen und zusammenfassen zu:
r³ -5m² r +4m³ = 0
Das ist zwar jetzt nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten (r), aber diese ist dummerweise eine kubische Gleichung, weil r³ drin vorkommt. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten (Newton-Verfahren, ...), aber in diesem Fall kann man eine Lösung schon fast so erkennen:
Und zwar ist r=1m eine Lösung, da
1-5+4=0
Also wissen wir jetzt:
Wenn die Oberfläche 10pi m² und das Volumen 4pi m³ ist, dann ist ein möglicher Wert für den Radius einfach 1m. (Die Höhe lässt sich über h=4m³/r² berechnen, h wäre also 4m)
Damit wissen wir aber noch nicht, ob es nicht noch weitere Lösungen gibt.
Gehen wir also noch einmal zurück zu der Gleichung
r³ -5m² r +4m³ = 0
Da wir wissen, dass r=1m eine Lösung ist, können wir das also per Polynom-Division durch (r-1m) dividieren und erhalten:
(r³ -5m² r +4m³) : (r-1m)=r² +1m*r -4m²
Wenn es also noch einen anderen möglichen Wert für r gibt (außer 1m), dann ist er auch eine Lösung der Gleichung
r² +1m*r -4m² = 0
pq- oder abc-Formel liefern dann schließlich als
Lösungen:
r2 = (Ö{17} -1)/2 m
r3 = (-Ö{17} -1)/2 m
Von diesem beiden Lösungen scheidet die untere (=r3) aus, weil diese eindeutig negativ ist, und ein Radius grundsätzlich positiv sein muss.
Bleiben also die beiden Lösungen zu der Aufgabe:
r1 = 1 Meter
r2 = (Ö{17} -1)/2 m
= ungefähr 1,56 Meter
Zusammenfassend kann man also sagen, dass es nicht immer eindeutig ist, aus der Oberfläche und dem Volumen eines Zylinders den Radius zu berechnen, da es manchmal mehrere Möglichkeiten geben kann.
Ich hoffe trotzdem, ich konnte irgendwie helfen. Falls etwas (oder alles) unklar ist, frag nochmal nach!
Ciao
Cosine |
Inge
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 08:38: |
|
Hi !
Ich bins nochmal.
Was ist denn wenn bei der Oberfläche und beim Volumen kein pi mehr steht, dann lässt sich das nämlich irgendwie schlecht umformen.
Ein Beispiel wäre wenn
O = 3m²
V = 0,534 m²
sind.
Kannst mir das hierdran auch einer erklären?
Gruß
Inge |
Akka
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 09:26: |
|
Hallo Inge,
p ist eigentlich kein Problem, nur eine ziemlich bescheuerte Zahl, nämlich 3,141592654... Aber glücklicherweise haben die meisten Taschenrechner eine Taste, in der diese Zahl gespeichert ist.
Also wenn Du p nicht wegkürzen kannst, dann teilst Du einfach durch p oder nimmst mal p oder Du läßt es einfach in Deiner Antwort stehen. Die Gymnasiallehrer freuen sich im allgemeinen über eine Antwort in der Form a = 10p cm mehr als über a = 31,14 cm.
Gruß
Akka |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 19:40: |
|
Hi Inge!
Normalerweise würde ich Akka zustimmen: Ob bei den angegebenen Werten jetzt ein Pi dabeisteht oder nicht, ist relativ egal... Und es ist natürlich absolut korrekt, dass sich Gymnasiallehrer(und innen) sehr freuen, wenn sie eine Antwort vorgesetzt bekommen, in der noch Brüche, Wurzeln oder ein Pi auftaucht, statt nur eine gerundete Dezimalzahl zu bekommen, die der Taschenrechner ausgespuckt hat...
Ich gebe aber zu, dass ich die Zahlen in meinem Beispiel oben
(Oberfläche = 10pi m² ; Volumen = 4pi m³)
nicht zufällig, sondern ganz bewusst ausgesucht habe.
Wenn man erstmal keine Zahlen gegeben hat, sondern das Problem ganz allgemein angeht, also O und V als Buchstaben stehen lässt, anstatt konkrete Werte einzusetzen, kommt man zuerst genauso voran,:
Man beginnt mit den beiden Gleichungen:
O=2pi*r*(h+r)
V=pi*r²*h
Zweite Gleichung nach h auflösen:
h=V/(pi*r)
Das für h in erste Gleichung einsetzen:
O=2pi*r*(V/(pi*r)+r)
Diese Gleichung kann man dann schließlich umformen zu:
2pi*r³ -O*r +2V =0
ACHTUNG: Den Buchstabe O für Oberfläche NICHT mit der Null 0 verwechseln!!!
Wie dem auch sei:
Wir sehen, dass das Problem im Grunde besteht, die Lösungen für r eben dieser Gleichung zu finden:
2pi*r³ -O*r +2V =0
Da hier ein r³ vorkommt, ist das eine Gleichung 3.Grades und die zu lösen, ist nicht immer ganz einfach. Es gibt hierzu eine Lösungsformel, die sog. Cardanische Formel, die aber ziemlich komliziert ist, und teilweise auch komplexe Zahlen erfordert...
Es gibt aber bestimmte Fälle, in denen man eine Lösung raten kann, das geht aber nicht immer.
Deshalb habe ich meine Werte oben so gewählt, dass sich die Gleichung an dieser Stelle in eine verwandelt, bei der man "relativ" einfach, eine Lösung erraten kann. Hat man erstmal eine erraten, kann man mit Polynom-Division durch (r-Lösung) dividieren und man erhält eine einfachere Gleichung 2.Grades, die man dann mit pq-Formel exakt lösen kann.
Dieses Raten der Lösung geht aber natürlich nicht immer. Wenn die Lösung exakt 1 Meter ist, dann geht das schon besser, als wenn die Lösung sowas wie 6,374374654654 ist, da kommt man dann nicht so schnell drauf.
Bei Deinem Fall
O = 3m²
V = 0,534 m³
ergibt sich die zu lösende Gleichung:
2pi*r³ -3m²*r +2*0,534m³ =0
Hier wird es schon erheblich schwieriger...
Du siehst: Da es keine einfache Lösungsformel für Gleichungen 3. Grades gibt, sieht jeder Fall etwas anders aus.
Übrigens: Mit Mitteln der Diff.Rechnung der 11.Klasse kann man eine Kurvendiskussion von
f(r)=2pi*r³ -3m²*r +2*0,534m³
durchführen und dadurch beweisen, dass es in diesem Fall KEINE POSITIVE Lösung gibt, sondern nur eine im Negativen, die uns aber egal sein kann, da ein Radius immer positiv ist.
Anders formuliert: Du wirst nirgendwo auf der Erde einen Zylinder finden können, der Deine Werte aufweist (=eine Oberfläche von 3 m² und ein Volumen von 0,534 m³).
So einen gibt es nicht, aber die Begründung dafür kann ich Dir ohne Differentialrechnung leider noch nicht geben...
Vielleicht sitze ich aber nur auf der Leitung, und es ist einfacher möglich, den Radius zu bestimmen, als über diese Gleichung 3. Grades... Keine Ahnung... Ich wüsste jetzt zumindest keinen anderen Weg...
Vielleicht kann ja jemand anders weiterhelfen...
Ciao
Cosine |
|
