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Selina
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| Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 20:01: |
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Hallo, Wie kann ich dies Aufgabe anpacken ? Die Funktion f (x) = 1 / (1- x ) ^ (3/2) soll an der Stelle x = 0 mit Hilfe der Taylorentwicklung durch ein Polynom vierten Grades möglichst gut approximiert werden Man bestimme dieses Polynom. Wer kann mir helfen ? Dank zum voraus. Selina |
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H.R.Moser,megamath
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| Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 21:29: |
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Hi Selina, Es gibt mehrere Methoden, das Problem anzugehen. I. Entwicklung der Funktion f(x) mittels Ableitungen in die Tayloreihe (Mac-Laurinsche Reihe) . Ergebnis: f(x) = 1 + 3 / 2 * x^2 + 15 / 8 * x^4 + 35 /16 x^6 + II. Benützung der binomischen Entwicklung (1 + h) ^ n = 1 + n* h + n*(n-1) /2! * h^2 +.......... mit h = x ^ 2 und n = - 3 / 2 ; es entsteht f(x) = 1 + 3 / 2 * x^2 + 15 / 8 * x^4 +……. wie oben: III. Bei genauem Hinsehen und scharfem Nachdenken merkt man: Setzen wir g(x) = arcsin x, so erhält man mit Hilfe der zweiten Ableitung g``(x) gerade f(x) als Quotient g`` (x) / x, also f(x) = g`` (x) / x, Die Reihenentwicklung von arcsin x ist wohlbekannt: arcsin x = x + ½ * x^3 /3 + 1*3 / 2*4 * x^5/5 + 1*3*5 / 2*4*6 *x ^7/7+....; leitet man beide Seiten zweimal nach x ab und dividiert mit x , so entsteht wiederum das obige Resultat. Somit lautet das gesuchte Polynom vierten Grades: p(x) = f(x) = 1 + 3 / 2 * x^2 + 15 / 8 * x^4 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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Selina
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| Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 09:12: |
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Hallo megamath, vielen Dank für die interessanten Lösungen ! MfG Selina |
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