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Christian (muzzy)
Neues Mitglied
Benutzername: muzzy
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. November, 2002 - 18:30: | 
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hi leute..
ich brauche eure hilfe.. 
folgende aufgabe:
gegeben ist für k > 0 die funktionenschar f(index k) mit fk(x) = 1 / x²+k² .
bestimme k so, dass das dreieck mit den beiden wendepunkten des graphen von fk und dem ursprung als eckpunkten den flächeninhalt 1/2 (wurzel) 3 hat..
ich danke im voraus fuer jeglich hilfe.. |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 710
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. November, 2002 - 20:15: |
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In den Wendepunkten muß die 2te Ableitung 0 sein.
Rechne
bitte nach.
für den Zähler der 2ten Ableitung solltest Du
Z(x) = -2(x²+k²)² + 4x(x²+k²)*2x erhalten
die
x=w der Wendepunkte müssen also 2 = 4w² erfüllen,
also
w = ±Wurzel(2)/2 .
Das
3eck ist also ein Gleichschenkeliges
mit
der Basis b = 2w = Wurzel(2)
und
der Höhe h = fk(w)
also
der Fläche A(k) = [Wurzel(2)/2]/[1/2 + k²] = Wurzel(3)/2] .
Diese
Gleichung solltest Du eigentlich leicht nach k aulösen können.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Christian (muzzy)
Neues Mitglied
Benutzername: muzzy
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. November, 2002 - 21:36: |
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tut mir leid, aber ich kapiere die schritte nicht so ganz..
kannst du es bitte genauer erläutern? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 711
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. November, 2002 - 13:51: |
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fk(x) = 1 / (x² + k²) = 1/Z
fk'(x) = -2x/Z²
fk"(x) = [(-2)*Z² - (-2x)*2*Z*Z']/ Z4 = N / Z4
In den Wendepunkten, x=w, muß fk"(w) = 0 sein.
Da Z4 > 0 für reelle k,x, k>0
genügt
es, zur Bestimmung der x der Wendepunkte, x=w
die
Gleichung N = 0 zu lösen
N = [(-2)*Z² - (-2x)*2*Z*Z'] = Z*[-2Z + 4x*Z*(2x)] = 0
für
das unbekannte x der Wendepunkt schreibe ich nun gleich w .
Der
Faktor Z in N kann, außer für k=0, nicht 0 werden,
wird also gleich weggelassen
[-2(w²+k²) + 4w*(w²+k²)*2w] = 0; durch 2(w²+k²) dividieren
-2 + 4w² = 0
4w² = 2;
2w² = 1; w² = 1/2
w = ±Wurzel(1/2)
w= ±1/Wurzel(2) = ±Wurzel(2)/2
Die
Wendepunkte sind also
W1=( +Wurzel(2)/2; fk(Wurzel(2)/2) ),
W2=( -Wurzel(2)/2; fk(Wurzel(2)/2) );
Weil
fk(x) = fk(-x) ist fk(w) für beide Wendepunkte derselbe Wert,
die
3ecksSeite W1W2 also parallel zur x-Achse,
die
Länge s der 3eckSeite W1W2
s = +Wurzel(2)/2 - (-Wurzel(2)/2) = +Wurzel(2)
und
weil W1W2 parallel zur x-Achse ist
ist
die
Höhe des 3ecks h = fk( Wurzel(2)/2 ) = 1/[1/2 + k²],
daraus
ergibt sich dann mit der Länge s der zu h gehörigen Seite W1W2, s=Wurzel(2)
die
Fläche des Dreiecks wie schon angegeben, ausgedrückt durch den Parameter k .
Diese
soll nun den gegebenen Wert Wurzel(3)/2 annehemen,
dafür
ist also die Gleichung A(k) = Wurzel(3)/2 nach k aufzulösen.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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