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Stefan
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. April, 2001 - 17:44: | 
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Hi
zwei Würfel werden geworfen. Der Bankhalter zahlt den Spielern für 2 oder 12 Augen das Zehnfache der Augenzahl in Chips, für 3 oder 11 Augen das Fünffache, für 10 oder 4 Augen das Doppelte und in allen anderen Fällen die einfache Augenzahl.
Welchen Einsatz muss der Bankhalter verlangen, um langfristig keinen Verlust zu machen?
Ciao Stefan |
Dea (Dea)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. April, 2001 - 23:11: |
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Hallo Stefan,
betrachte zunächst die Wahrscheinlichkeiten:
P(2) = 1/36, P(12) = 1/36 => P(2oder12) = 2/36
P(3) = 2/36, P(11) = 2/36 => P(3oder11) = 4/36
P(4) = 3/36, P(10) = 3/36 => P(4oder10) = 6/36
P(5) = 4/36
P(6) = 5/36
P(7) = 6/36
P(8) = 5/36
P(9) = 4/36
Sei der Einsatz pro Spiel x. Dann ist der Erwartungswert, wieviel der Bankhalter bezahlen muß
E(x) = 10x*2/36 + 5x*4/36 + 2x*6/36 + 5*4/36 + 6*5/36 + 7*6/36 + 8*5/36 + 9*4/36 =
(20x + 20x + 12x + 20 + 30 + 42 + 40 + 32)/36 =
(52x + 164)/36
Wenn dieser Wert 0 ist, macht der Bankhalter keinen Verlust (aber natürlich auch keinen Gewinn).
(52x + 164)/36 = 0
52x = -164
x = - 41/13
(Wenn man "+" für zahlen setzt, steht "-" für einnehmen.)
Der Bankhalter müßte also 41/13 Chips als Einsatz verlangen, um keinen Verlust zu machen. Verlangt er mehr, z.B. 4 Chips, so macht er Gewinn bei diesem Spiel.
Gruß, Dea |
Stefan
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 10:50: |
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Dankeschön Dea.
Gruß Stefan |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Mai, 2001 - 13:35: |
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Hi Dea,
Bei Deiner Lösung der Aufgabe von Stefan haben sich
offenbar Fehler eingenistet..
Ich habe ein anderes Schlussresultat erhalten, das von
Deinem Resultat erheblich abweicht und mir plausibler
erscheint
Darf ich Dich um eine Nachkontrolle bitten.
Es ergeben sich insgesamt 11 verschiedene Ausfälle.
X sei der Bruttogewinn in Chips (ohne Abzug des Einsatzes)
für den Spieler.
Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten seien p(X).
1. Augensumme 12, X = 120 ,... P(X) = 1/36
2. Augensumme 11, X = 55 ,..., P(X) = 2/36
3. Augensumme 10, X = 20 , ...,P(X) = 3/36
4: Augensumme 2, X = 20 , ...P(X) = 1/36
5. Augensumme 3, X = 15, ....P(X) = 2/36
6. Augensumme 9, X = 9, .....P(X) = 4/36
7. Augensumme 8, X = 8, ....P(X) = 5/36
8. Augensumme 4, X = 8, .....P(X) = 3/36
9. Augensumme 7, X = 7, .....P(X) = 6/36
10. Augensumme 6,.X = 6, .....P(X) = 5/36
11. Augensumme 5,.X = 5,......P(X) = 4/36
Nun lässt sich der Erwartungswert der Bruttogewinne berechnen:
E(X) = 1/36 * [120*1+55*2 +20*3 + 20*1 + 15*2 + 9*4+8*5+8*3
+7*6 +6*5 + 5*4 ] = 1/36 * 532 = 133/9 ~ 14.8
Der Bankhalter wird einen Einsatz von x = 15 Chips verlangen
Bei der Berechnung des Mindesteinsatzes x bei diesem
einfachen Beispiels ist es nicht nötig , x in jedem Summanden
aufzuführen,:
x ist einfach E(X) gleichzusetzen, damit der Ausgleich
stattfindet.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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