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Carmen
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. April, 2001 - 11:45: | 
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Könnte mir mal einer alle Sätze die für ein Tetraeder gelten aufschreiben , ich brauch die nämlich für das Abitur |
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. April, 2001 - 01:08: |
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Ich schreib mal hin, was mir einfällt:
Tetraeder A,B,C,T:
Alle Seiten sind gleichlang (a=AB=AC=BC=AT=BT=CT)
Jede der vier gleichseiteigen Dreiecke hat die Höhe h=a*wurzel(3)/2 und die Fläche A=a^2*wurzel(3)/4
Þ O=4*A=a^2*wurzel(3)
Die Höhe H des Tetraeders ist H=a*wurzel(6)/3.
Das Volumen beträgt V=(1/3)*A*H=a^3*wurzel(2)/12
Der Höhenfusspunkt (von T senkrecht runter auf die Grundfläche ABC) des Tetraeders ist der Schwerpunkt des Dreiecks ABC, der durch s=(a+b+c)/3 einfach ermittelt werden kann.
Symmetrieebene ist z.B. die Ebene durch den Schwerpunkt S, durch die Ecke A und durch die Mitte M von B und C; das kann man auf vier Arten machen (b oder C oder T statt A)
Der In und Umkreismittelpunkt befindet sich a*wurzel(6)/12 senkrecht über dem Schwerpunkt irgendeiner Seitenfläche und ist gleich dem Inkreisradius; der Umkreisradius ist dann a*wurzel(6)/4 .
Eine Aufgabenstellung dazu mit Lösungsweg (ohne explizite Rechnung):
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/15008.html?988317722
(Kopiere die Adresse oben in den Browser oder gehe zu Abitur/Sonstiges/Bitte helft mir) |
Carmen
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. April, 2001 - 11:49: |
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Vielen Dank für deine Bemühungen ,das hat mir echt weitergeholfen.
Ich habe aber noch mal zwei Fragen!
1.Ich hab mal gehört wenn der Abst (E,T) ungleich
dem Abstand TS1 dann liegt keine Symmetrie vor und es handelt sich um ein gleichseitiges Tetraeder.
S1 ist der Schwerpunkt des ersten Dreiecks.
Stimmt diese Aussage , und wenn ja kannst du mir auch erklären warum???
2. Wie kann ich überprüfen ob das Schnittverhältnis von 3:1 vorliegt und wenn es nicht vorliegt handelt es sich dann um kein regelmäßiges Tetraeder??
Könntest du mir da vielleicht noch mal helfen? |
lnexp
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. April, 2001 - 21:40: |
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Das Tetraeder ist ein Körper mit vier Seitenflächen, also vier Dreiecken. Über das unregelmässige Tetraeder kann man nur schlecht allgemeine Aussagen aufstellen.
Ich ging von vornrherein von einem regelmässigen Tetraeder aus, also einem Tetraeder, bei dem alle Seiten gleichlang sind (also lauter gleichseitige Dreiecke).
Bei einem unregelmässigen Tetraeder musst Du alles selber ausrechnen, also wo ein Höhenfusspunkt ist u.s.w..
1.)
Wenn der Abstand d(E,T) ungleich, also kleiner als der Abstand d(S1,T) ist (S1 Schwerpunkt des "unteren" Dreiecks), dann liegt kein regelmässiges (oder gleichseitiges) Tetraeder vor; trotzdem kann es eine Symmetrieebene geben (durch die eine Ecke, die Spitze T und der Mitte der "gegenüberliegenden " Seite).
Z.B. wenn das "untere" Dreieck gleichschenklig ist , und die Spitze T senkrecht über der Höhe des "unteren" Dreiecks liegt.
2.)
Beim regelmässigen Tetraeder ist das Schnittverhälniss der Seitenhalbierenden (oder Höhen oder Mittelsenkrechten oder Winkelhalbierenden) jeder Seitenfläche 2:1 (also 2/3 zu 1/3), wie bei jedem gleichseitigen Dreieck.
Wenn das für irgendeine Seitenfläche nicht zutrifft, dann liegt kein regelmässiges Tetraeder vor |
Carmen
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 11:44: |
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1.Könntest du mir vielleicht in rechnerischen Schritten das 2:1 Verhältniss erklären???
2.Es gilt doch der Satz : Die vier Mittellinien eines Tetraeders schneiden sich in seinem Schwerpunkt und werden durch diesen von den Ecken aus im Verhältnis 3:1 geteilt.
Könntest du mir das auch recherisch erklären.
z.B. für dei Punkte A(5/9/3) B (6/4,5/10)
C(3/0/4) D (10/6/5)
Wäre echt nett von dir!!!
Und vielen Dank im voraus. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 20:39: |
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Hi Carmen,
Ergänzungen zum Thema
allgemeines (nicht notwendig reguläres) Tetraeder
I.
Im Archiv findest Du unter dem Stichwort "Scheinbeweise"
einen interessanten Satz samt Beweis zur Rolle des
Schwerpunktes S eines allgemeinen Tetraeders.
II.
Eigenschaften des Schwerpunktes S im allgemeinen Tetraeder
ABCD.
1) Die Verbindungsstrecken der Mittelpunkte je zweier
Gegenseiten gehen durch S, und S ist der Mittelpunkt dieser Strecke.
2) Durch S gehen auch die sogenannten Schwerebenen des
Tetraeders, von denen jede eine Kante mit dem Mittelpunkt der
Gegenkante verbindet.
3) Durch S gehen auch die vier Schwerlinien A S1 , B S2 , C S3 , D S4,
wobei S 1, S 2, S 3 .und S 4 die
Schwerpunkte der entsprechenden gegenüberliegenden Seitenflächen sind.
Diese Schwerlinien werden von S im Verhältnis 1 : 3 geteilt.
4) bezeichnet man das Volumen des Tetraeders mit V, die Flächeninhalte
der Seitenflächen mit F1,F2,F3,F4 und die zugehörigen Höhen mit
h1,h2,h3,h4 ,so gilt:
3 V = F1 * h1 = F2 * h2 = F3 * h3 = F4 * h4.
5) Ist r der Radius der Inkugel des Tetraeders, so gilt auch:
3 V = r * ( F1 + F2 + F3 + F4 )
III.
Zu Deinem numerischen Beispiel
1.] Bildet man der Reihe nach die arithmetischen Mittel der
gleichnamigen Koordinaten der Ecken , so ergibt sich der
Schwerpunkt S ( 6 / 4,875 / 5,5)
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2.] M1( 5,5 / 6,75 / 6,5 ) ist der Mittelpunkt der Kante AB,
M2 ( 6,5 / 3 / 4,5 ) ist der Mittelpunkt der Kante CD
S ist der Mittelpunkt der Strecke M1 M2, wie man
leicht nachrechnet
3.] S1 (14/3 ; 9/2 ;17/3 ) ist der Schwerpunkt der Seitenfläche
ABC Die Gerade D S1 geht durch S; ihre Parametergleichung lautet:
x = 10 + 16 t , y = 6 + 4,5 t , z = 5 - 2 t
Für t = t' = - ¼ erhalten wir S , für t = t'' = - 1 /3 erhalten wir S1
Ferner gilt t' = 3 * ¼ von t'' , wie es sein muss !
u.s.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Carmen
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. April, 2001 - 22:01: |
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Soweit so gut nun ist mein eigentliches Problem aber immer noch nicht gelöst.
Denn ich möchte gerne wissen was ich genau durch welche Zahl teilen muss damit ich zu dem 3:1 bzw.
2:1 Verhältniss komme.
Und wir haben zb. in der Schule den Betrag von DS
durch den Betrag von SS1 geteilt.
Da kam ein 3:1 Verhältniss raus , ist das eine Möglichkeit das 3:1 Verhältniss zu beweisen??? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. April, 2001 - 13:39: |
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Hi Carmen,
Wenn Du nachweisen willst, dass beim Tetraeder ABCD
mit Körperschwerpunkt S und Flächenschwerpunkt
des Dreiecks ABC das Verhältnis v der Strecken
D S1 und D S gleich 4 : 3 ist, so musst Du diese
Eigenschaft an einem allgemeinen Tetraeder
zeigen und nicht bloss an einem einzelnen numerischen
Beispiel.
Wir wählen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem die
folgenden Punkte A,B,C,D (ohne Einschränkung der
Allgemeinheit !) als Ecken des zu untersuchenden Tetraeders.
A( a / 0 / 0 ) , B ( b1 / b2 / 0 ) , C (c1 / c2 / 0 ) , D ( 0 / 0 / h)
Wir setzen voraus, dass alle genannten Konstanten von null
verschieden sind
Als bekannt werde vorausgesetzt ,dass die Koordinaten des
Schwerpunkte S und S1 jeweils als arithmetische Mittel der
Koordinaten der Ecken gewonnen werden
Für S sind alle vier Ecken, für S1 die Ecken A,B,C beteiligt.
Mit den Abkürzungen
a + b1 + c 1 = u , b2 + c2 = v erhalten wir mithin für die
Koordinaten von S und S1:
S( ¼ u / ¼ v / ¼ h) , S ( 1/3 * u / 1/3 * v / 0)
Wir stellen nun eine Parametergleichung der Geraden S S1 auf
Der Richtungsvektor S S1 lautet:
S S1 = 1 /12 * {u ; v ; - 3*h }
Somit haben wir die Darstellung für die genannte Gerade
mit t als Parameter und D als Anfangspunkt:
x = 0 + t * u , y = 0 + t * v , z = h - 3 t * h
Nun gilt folgendes (bitte nachprüfen!)
Wir erhalten den Punkt S für t = t ' = ¼
Wir bekommen den Punkt S1 für t = t'' = 1 / 3
Der Quotient Q = t' / t'' = D S :D S1 = ¼ : 1/3 = 3 : 4 ,
womit das eingangs erwähnte Verhältnis nachgewiesen wäre.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
lnexp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 07:42: |
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War mir nicht bekannt, aber man lernt ja nie aus, megamath.. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Mai, 2001 - 20:50: |
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Hi Inexp,
Motto: "Wer vieles bringt, wird manchem etwas bringen"
Der folgenden kleine Exkurs enthält Antworten auf die Frage
"was ich schon immer über das allgemeine Tetraeder
wissen wollte".
.
Meine Ausführungen sind grösstenteils einem Leitfaden
zur Stereometrie von W.Benz (Orell Füssli Verlag, Zürich )
aus dem Jahr 1937 entnommen.
In früheren Zeiten wurde dieses Fach an den Schulen,
namentlich an den sogenannten Oberrealschulen,
viel intensiver gepflegt als heute, und auf das räumliche
Anschauungsvermögen wurde besonders Wert gelegt
Nützlich war diese Propädeutik in Stereometrie auch für
die Darstellenden Geometrie, welche damals, auch an
technischen Hochschulen, eine gewichtige Rolle spielte
Nun zum Thema
I.] Der Schwerpunkt
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die Verbindungsgeraden A S1, B S2, C S3, D S4 der Ecken
A,B,C.D mit den Schwerpunkten Si der gegenüberliegenden
Seitenflächen heissen die vier Mittellinien des Tetraeders.
Die Mittellinien A S1 und D S4 liegen in der Ebene ,welche
die Kante AD und den Mittelpunkt G der Gegenkante BC enthält.;
sie schneiden sich daher in einem Punkt S.
Aus G S4 : GA = GS1 : GD = 1 : 3 folgt S4 S1 ist parallel zu AD
und
S4 S1 : AD = 1 :3
Und daraus weiter
S4 S : DS = = S1 S : AS = 1: 3
Die beiden Mittellinien teilen also einander gegenseitig
Im Verhältnis 1 : 3.
Dies gilt auch für irgend zwei andere Mittellinien.
Wegen S1 S : AS = S2 S : BS = S3 S: CS = S4 S : DS = 1 : 3
gehen alle vier Mittellinien durch denselben Punkt S.
Alle Parallelschnitte des Tetraeders zur Fläche ABC sind
perspektiv ähnlich bezüglich des Aehnlichkeitspunktes D,
mithin liegen ihre Schwerpunkte auf D S4;
daher heisst D S4 auch eine Schwerlinie des Tetraeders,
auf welcher der Schwerpunkt des Körpers liegt.
Aus dem gleichen Grund sind auch die übrigen Mittellinien
Schwerlinien des Tetraeders.
Daher gelten die Sätze
L1)
Die vier Mittellinien eines Tetraeders schneiden sich in seinem
Schwerpunkt und werden durch diesen von den Ecken aus
im Verhältnis 3 : 1 geteilt.
L2)
Die sechs Verbindungsebenen der Kanten eines Tetraeders
mit den Mittelpunkten der Gegenkanten gehen durch den
Schwerpunkt des Tetraeders.
Die in 2) genannten Ebenen werden als Schwerebenen des
Tetraeders bezeichnet.
Verbindet man die Mittelpunkte zweier Gegenkantenpaare
AB,CD und BC,AD , so entsteht ein Parallelogramm EGFH;
seine Seiten sind paarweise zu den übrigen Kanten AC und BD
parallel und halb so lang wie diese.
Im ganzen gibt es drei solche Parallelogramme
EGFH, EJFK, GJHK , die sich paarweise in einer der drei
Verbindungsstrecken EF,GH und JK der Gegenkantenmitten
Schneiden und deren gemeinsamer Mittelpunkt die gemeinsame
Mitte dieser drei Strecken ist.
Man kann zeigen ( wie könnte es anders sein ? ) ,
dass dieser Punkt S mit dem Schwerpunkt des Tetraeders
zusammenfällt.
Im Schnittdreieck CDE, wo F Mittelpunkt von CD und
S Mittelpunkt von EF ist, wird CF durch M halbiert.
Da MS parallel zu CE und gleich lang wie ½ CE ist, folgt:
CM :DM = 1 :3 = NS : DS, wo N den Schnittpunkt
von CE und DS bedeutet.
Weiter: MS : CN = MD : CD = 3 : 4 , also
CE : CN = 3 : 2 ,
d.h. N ist der Schwerpunkt S4 von ABC und S der Schwerpunkt
des Tetraeders
Wir haben den Satz gewonnen:
L3)
Die drei Verbindungsstrecken der Gegenkantenmitten eines
Tetraeders gehen durch seinen Schwerpunkt und werden
durch diesen halbiert.
II] Die Umkugel
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die mittelnormalen Ebenen auf die Seiten des Dreiecks ABC
schneiden sich in einer Geraden, dem Ort des Punktes mit
gleichen Abständen von den Ecken A,B,C.
Diese Gerade ist die Normale im Umkreismittelpunkt M4
des Dreiecks ABC auf dessen Ebene.
Sie schneidet die mittelnormale Ebene zur Kante AD
in einem Punkt M, dem einzigen Punkt mit gleichen Abständen
von den Tetraederecken ABCD.
Dieser Punkt ist also das Zentrum der einzigen Kugel, welche die
Ecken des Tetraeders enthält (Umkugel des Tetraeders)
Durch M gehen auch die mittelnormalen Ebenen zu BD und CD
und die Normalen in den Umkreismittelpunkten M1,M2 und M3
auf die Seitenflächen BCD,ACD und ABD, d.h.
L4)
Die vier Normalen auf die Seitenflächen eines Tetraeders in den
Mittelpunkten der Umkreise schneiden sich im Mittelpunkt
der dem Tetraeder umgeschriebenen Kugel.
L5)
Die sechs mittelnormalen Ebenen zu den Kanten eines Tetraeders
gehen durch den Mittelpunkt der umgeschriebenen Kugel und
schneiden sich viermal zu dreien in einer Geraden, der Normale
von diesem Punkt auf eine Seitenfläche.
N.B. Der Mittelpunkt der Umkugel kann inner- oder ausserhalb
des Tetraeders liegen.
III] Die Inkugel
°°°°°°°°°°°°°°°°
Man kann jetzt auch nach den Punkten fragen, die von den
vier Seitenflächen die gleichen Abstände haben;
diese Punkte gehören notwendig den innern oder äussern
Halbierungsebenen der Flächenwinkel des Tetraeders
an den Kanten an.
Jeder solche Punkt ist dann der Mittelpunkt einer Kugel,
welche die Seitenflächen in den Fusspunkten der Normalen
vom Punkt aus berührt.
Soll der Punkt im Innern des Tetraeders liegen, so muss er
ein Punkt der Schnittgeraden der beiden Ebenen sein,
welche die Flächenwinkel an den Kanten AB und AC
halbieren.
Durch diese Gerade im Inneren des Dreikantes bei A
geht auch die Halbierungsebene des Flächenwinkels
an der Kante AD, da die Punkte dieser Geraden die
gleichen Abstände von den Seitenflächen ABD und ACD
haben.
Zugleich gehört der gesuchte Punkt der Halbierungsebene des
Flächenwinkels an der Kante BC an und ist daher
der Schnittpunkt O dieser Ebene mit der vorigen durch A
gehenden Geraden Daher
L6)
Die sechs Halbierungsebenen der Flächenwinkel eines Tetraeders
schneiden sich viermal zu dreien in einer Geraden durch eine Ecke
und gehen durch einen Punkt im Innern des Tetraeders mit gleichen
Abständen von den Seitenflächen; dieser Punkt ist der Mittelpunkt
der dem Tetraeder eingeschriebenen Kugel.
Die Berührungspunkte der Seitenflächen mit der Inkugel liegen
im Innern dieser Flächen.
Die vier durch O gehenden Geraden sind die Achsen der Inkegel
der Dreikante an den Ecken.
Die Halbierungsebenen zerlegen das Tetraeder in vier Teiltetraeder
mit der gemeinsamen Spitze O.
Bezeichnen daher F1,F2,F3,F4 die Inhalte der Seitenflächen,
V das Volumen des Tetraeders und r den Radius der Inkugel,
so ist
3 * V = r * ( F1 + F2 + F3 +F4 ) ;d.h.:
L7)
Zwischen dem Volumen V, der Oberfläche F und dem
Inkugelradius r eines Tetraeders besteht die Beziehung
3 V = r * F .
IV ] Die Höhen
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Die vier Höhen eines Tetraeders schneiden einander
im allgemeinen nicht.
Würden sich etwa die Höhen A F1 = h1 und D F4 = h4
schneiden,
so wäre die durch beide Höhen bestimmte Ebene
und damit auch die Kante AD zu BC senkrecht, was
gewöhnlich nicht zutrifft.
Zu den Tetraedern, bei denen die vier Höhen durch
einen Punkt gehen, gehören das reguläre Tetraeder
und das Tetraeder, das durch den Schnitt einer Würfelecke
mit einer Ebene entsteht.
Das allgemeinste Tetraeder dieser Art ist das sogenannte
orthogonale Tetraeder mit drei Paaren senkrechter Gegenkanten.
Im regulären Tetraeder fallen der Höhenschnittpunkt,
der Mittelpunkt der Umkugel und der Mittelpunkt der Inkugel
mit dem Schwerpunkt zusammen.
V] Die Bestimmung eines Tetraeders.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Ein Tetraeder ist im allgemeinen durch sechs unabhängige Stücke,
z.B. die drei von einer Ecke ausgehenden Kanten und die drei von
diesen eingeschlossenen Winkel , bestimmt.
Zur Konstruktion des Tetraeders benützt man oft
geometrische Oerter.
Sind z.B. die Seitenfläche ABC, das Dreikant bei A
und die Höhe auf ABC gegeben., so findet man die vierte Ecke D
als den Schnittpunkt der Kante AD des Dreikantes mit einer zu ABC
parallelen Ebene.
Zur Berechnung der fehlenden Stücke benötigt man oft Kenntnisse der
sphärischen Trigonometrie
VI] Schlussaufgaben.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
1.
Zeige: Ein Tetraeder ABCD wird von jeder zwischen den Gegenkanten
AD und BC liegenden und zu ihnen parallelen Ebene in einem
Parallelogramm EFGH geschnitten.
Der Ort der Diagonalen EF ist eine Fläche, die das Tetraeder halbiert
( Thema: hyperbolisches Paraboloid )
2.
Zeige:
Die innern und äussern Halbierungsebenen der sechs Flächenwinkel
eines Tetraeders gehen acht mal zu sechsen durch einen Punkt.
Jeder dieser Punkte ist der Mittelpunkt einer Kugel, welche die vier Seitenflächen berührt : eine Inkugel, vier Ankugeln und
drei Ueberkugeln.
Sind r, r1, r2, r3, r4, r5, r6, r7, r8 der Reihe nach ihre Radien , so gilt
für das Volumen V des Tetraeders:
3 * V = ( F1 +F2 + F3 + F4 ) * r =
(- F1 + F2 +F3 +F4 ) * r1 =..... = ( F1+F2 - F3 - F4 ) * r5 =...
Das sollte genug sein !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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