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Beitrag |
    
Alrik Adam (Witschie)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 12:03: | 
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Hallo! Ich bin kurz vor Ende der 10 Klasse. Aber mich interessiert schon jetzt was ein Integral ist und was man damit machen kann!!
Schreibt mir doch bitte so viel wie ihr wisst *gg*
Gruß und schon mal Danke!! |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. April, 2001 - 16:36: |
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Ein Integral ist ein Grenzwert besonderer Art.
Zunächst ein bestimmtes Integral.
Man hat ein Intervall [a;b]ÎR gegeben, auf dem die Funktion f(x) zusammenhängend definiert; d.h Es darf einzelne Definitionslücken als einzelne x geben, aber es darf kein Intervall , das in [a;b] liegt geben, auf dem f(x) nicht definiert ist;
z.B.: f(x)=x; a=1, b=2; D=[1;2]\{1,1;1,5;1,9} ist zulässig, f(x)=x; a=1, b=2; D=[1;3]\[2,5;2,9] auch, während f(x)=x; a=1, b=2; D=[1;2]\[1,5;1,6] nicht zulässig ist.
Es gibt noch weitere Ausnahmen, von denen ich dir nur Beispiele nennen kann: f(x)={1 für xÎR\Q; 2 für xÎQ}; a=1, b=2; D=R ist auch nicht integrierbar.
Allgemein geht man so vor, wenn eine Funktion über einem bestimmten Intervall integrierbar ist:
Man zerschneidet das Intervall in n abgeschlossene Einzelintervalle [xi;xi+1] mit x1=a, xn+1=b der Länge Dxi, i£n, iÎN, die nicht gleichlang sein müssen, aber der einfachheit halber meistens so angenommen werden.
Nun bildet man die Funktionswerte an der Stelle xi, also f(xi) und bildet folgende Summe:
Sn i=1f(xi)*Dxi.
Nun lässt man n gegen unendlich und alle Dxi gegen 0 gehen und fertig ist das Integral:
lim Sn i=1f(xi)*Dxi=òa bf(x)*dx
n®¥
Dxi®0
Das ist allgemeine Definition des Integrals; so lernt man sie in der Schule nicht; ausserdem gibt es einige ganz einfache Regeln die man befolgen muss, wenn man einfache Funktionen integriert. dazu später. Ich hoffe du bist nicht ganz abgeschreckt.
Beispiel: f(x)=x, D=R, a=0, b=10.
Wir nehmen, die Intervalllänge sei für alle i gleich: Dxi=Dx=(b-a)/n=10/n
dann ist nach i Intervallen der x-Wert: xi+1=a+Dx*i=10*i/n.
Dann ist f(x{i})=xi=10*(i-1)/n die Summe:
Sn i=1f(x{i})*Dx=Sn-1 i=010*i/n*10/n=100/n²*Sn-1 i=0i=100/n²*((n-1)*n/2).
Für den Grenzwert gilt dann:
lim Sn i=1f(x{i})*Dx=
n®¥
lim ((n-1)*n/n²)*50=50*1=50
n®¥
Das war die sogenannte Untersumme. Die Obersumme funktioniert genauso, nur dass der Anfangswert von i=2 und der Endwert von i=n+1 ist; Dieser Grenzwert konvergiert ebenfalls gegen 50. Die unterscheidung Ober- und Untersumme taucht in einer Definition auf, die im Gymnasium verwendet wird. Die obige Definition ist aber allgemeiner. Eine Funktion ist nur dann integrierbar, wenn Ober- und Untersumme den gleichen Wert haben, nach der anderen Definition.
Also gilt: ò0 10x*dx=50
Anschaulich bedeutet das Integral eine Art Flächeninhalt; Dabei wird die Fläche zwischen x-Achse, den Geraden x=a und x=b und f(x) bestimmt, wobei Flächen oberhalb der x-Achse positiv und Flächen unterhalb negativ gewertet Werden.
Auf unser Beispiel: x macht im Intervall [0;10] ein Dreieck; seine Grundseite ist 10 seine Höhe auch 10; sein Flächeninhalt ist also 1/2*10*10=50. Passt also mit dem Integral.
Wenn man das Intervall [-10;0] betrachtet hätte, wäre der Flächeninhalt auch 50 gewesen; das Integral aber -50, da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, also negativ bewertet wird.
Wäre das Intervall [-5;5] genommen worden wäre der Flächeninhalt 2*(1/2*5*5)=25; Das Integral aber ist 0, da auf der Rechten seite, [0;5], die Fläche 12,5 wäre und positiv gewertet wird und in [-5;0] die Fläche auch 12,5 ist, aber negativ bewertet wird.
Aber man kann damit nicht nur Flächeninhalten von Dreiecken elegant berechnen, sondern allgemein von jeder beliebigen Figur, von der die Funktion bekannt ist und die integrierbar ist.
Einige wichtige Regeln:
òc cf(x)*dx=0
òa bf(x)*dx=-òb af(x)*dx
Das unbestimmte Integral hat die Form ò f(x)*dx und man geht dabei etwa so vor: man nimmt einen Wert aus der Definitionsmenge z.B. c und Integriert von c bis x nach einer Hilfsvariable t und vernachlässig anschliesend Konstante Terme und setzt statt dessen eine Frei wählbare Integrationskonstante C ein (C' ist so gewält, dass der Konstante Term vom Integral addiert zu C' C ergibt):
ò f(x)*dx=òc xf(t)*dt+C'
Das kann man mit Hilfe der Definition berechnen, geht aber für bestimmte Funktionen auch mit Regeln:
ò xn*dx=(xn+1/n+1)+C für nÎR\{-1}
ò c*f(x)*dx=c*ò f(x)*dx
ò g(x)+f(x)*dx=ò f(x)*dx+ò g(x)*dx
ò sin(x)*dx=-cos(x)+C
ò cos(x)*dx=sin(x)+C
ò 1/x*dx=ln(|x|)+C
ò ex*dx=ex+C
Übrigens das ominöse dx ist nur eine Art Grenzwertabkürung für Dx. Man bezeichnet es auch als Differential. Es kommt vom Differentialquotienten, der ebenfalls ein besonderer Grenzwert ist, und die Steigung eines Graphen darstellt. Differentialrechnung wirst du in der 11.ten lernen.
Es gibt den sogenannten Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung. Nach ihm gilt:
Ist F(x) eine Integralfunktion zu f(x), d.h. ò f(x)*dx=F(x)+C so ist die Ableitung von F(x), der Differentialquotient: d/dx*F(x)=f(x).
Man kann unbestimmte Integrale benützen, um bestimmte zu berechnen:
ò x*dx=1/2*x²+C; ò0 10x*dx=[1/2*x²+C]010=(1/2*(10)²+C)-(1/2*(0)²+C)=50.
Die Eckigen Klammern sind eine allgemeine Schreibweise; man setzt zuerst den oberen Wert für x und dann den unteren, und zieht sie voneinder ab. Man sieht auch, dass dabei das C immer rausfällt.
Es gibt auch uneigentliche Integrale; dabei geht eine Grenze gegen Unendlich, oder der Funktionswert wird an einer Grenze unendlich. Mit Grenzwerten kann man das Problem umgehen; dabei können dann tatsächlich endliche Integralwerte herauskommen: ò1 ¥x-2=[-x-1]1¥=
lim(-a-1)-((-1)-1)=0-((-1)-1)=1
a®¥
Es gibt auch mehrfache Integrale; einfach mehrere Integrationen hintereinander ausgeführt.
Integration kann auch auf mehrdimensionale Funktionen, in allen Darstellungsmöglichkeiten (explizit, implizit (müsste jedenfalls), polar, parametrisiert) und sogar auf Vektorpotentiale und Vektorfelder angewandt werden.
Abschliesend sei noch Gesagt, dass Grenzwerte (und Differentialrechnung, aber die weniger) eine absolute voraussetztung Darstellen, zum verständniss der Integralrechnung. |
Alrik Adam (Witschie)
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. April, 2001 - 12:22: |
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Hi Thomas Preu!
danke für deine rasche Antwort! Jetzt weiß ich endlich um was es geht!
Nochmals Danke! |
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