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Heiko (Heiko19)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. März, 2001 - 15:10: | 
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Die vorgegebene DGL ist:
y´-1/x*y=x^1/2
p(x)=-1/x g(x)=x^1/2
mü(x)=e^-1/x*dx
ab jetzt setzt bei mir aus! Könnt Ihr mir helfen das Integral zu bestimmen und wie man das macht!
/ ist übrigens ein Bruch
und ^ für eine Hochzahl
Vielen Dank schon mal! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. März, 2001 - 22:01: |
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Hi Heiko ,
Die gegebene DGl.
y ' - 1 / x * y = wurzel(x)
ist eine lineare inhomogene DGl. erster Ordnung
Wir ermitteln zuerst die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
Durch Separation der Variablen:
Aus y ' = 1 / x * y folgt
dy / y = dx / x , woraus durch Integration über
ln y = ln ( c x )
y = c * x folgt ,mit c als Integrationskonst.
Um die allgemeine Lösung der inhomogenen DGl. zu bestimmen,
wenden wir die Methode der Variation der Konstanten c an
Wir suchen im Ansatz y = c(x) * x die Hilfsfunktion c = c(x),welche
die Rolle der Konstanten in der obigen Gleichung übernimmt,
aber statt den Status einer Konstanten denjenigen einer Variablen hat
( c hat sich gewissermassen hochgedient )
Aus dem Ansatz erhalten wir mit der Produktregel:
y ' = c ' * x + c .
Dies setzen wir in der inhomogenen Gleichung ein und bekommen:
c ' * x + c - c = wurzel (x) , vereinfacht:
c ' * x = wurzel x , nach c' aufgelöst:
c ' = x ^ (- ½ ) , integriert
c = 2* x ^ ( ½) + k , wobei k eine Integrationskonstante ist.
Dies setzen wir im Ansatz ein und erhalten als Schlussresultat:
y = ( 2wurzel (x) + k ) * x.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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