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icebear
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 03:05: | 
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ich habe noch eine andere nuß zu knacken:
gesucht sei I.dx/sinx
ich habe gesetzt: z=cosx dz=-sinxdx
d.h. sinx=(1-z^2)^.5
und man erhält dx=-dz/(1-z^2)^.5
so daß man erhält:
I.dx/sinx=I.dz/(1-z^2)=I.(0.5/(1-z)+0.5/(1+z))dz
=0.5*ln(1+z)-0.5*ln(1-z)
mit x=arccosz eingesetzt erhält man:
I.dx/sinx=0.5*ln(1+arccosx)-0.5*ln(1-arccosx)
wie beweist man daß, das das richtig
ist? außerdem, diese stammfunktion wurde bereits von jemand anderem ebenfalls gesucht! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Februar, 2001 - 10:33: |
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Hi icebear ,
Es geht wohl am besten, wenn wir die sogenannten
Rationalisierungsformeln für die trigonometrischen
Funktionen verwenden, d .h . wir substituieren
t = tan ( x / 2 )
Aus dieser Substitutionsgleichung folgt :
x = 2 * arc tan t , dx = 2 * dt / ( 1 + t ^ 2 )
sin x = 2 t / ( 1 + t ^ 2 )
Anmerkung
sin x erscheint als rationale Funktion von t.
Dasselbe gilt für cos x = ( 1 - t ^ 2 ) / ( 1 + t ^ 2 ) und
tan x = 2 t / ( 1 - t ^ 2 )
Das gegebene Integral lässt sich nun umformen und ermitteln:
int [ (1 / sin x ) * dx ] = int [ (dt / t ) ] = ln t = ln [ tan (x/2)]
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
iceman
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Februar, 2001 - 03:03: |
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es geht auch mit cosx=z , dann ist sinxdx=dz, siehe beitrag von million$man |
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