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Jenny Gazar (Sweetpoison)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 09:34: |
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Gegeben sind eine Ebene E: 2X1-3X3=o, ein Punkt P(2/8/3) sowie eine Ebenenschar Ea4+2a)X1+8X2+(2-a)X3 = 3a+10 a) Bestimmen Sie für die Ebenen E0 und E1 (d.h.a=0 bzw. a=1) eine Gleichung der Schnittgeraden g und ihren Schnittwinkel alfa. b)Wie liegt g in Bezug auf die Ebenenschar Ea? c)Untersuchen Sie die gegenseitige LAge von g und E und bestimmen Sie entweder den Abstand oder die Schnittpunktskoordinaten und den Schnittwinkel. d) Zeigen Side, dass die Ebene E nicht zur Schar Ea gehört und bestimmen Sie eine Zahl a0 € IR so, dass die zugehörige Ebene Eao zur Ebene E senkrecht ist. e) Welche Ebene aus der Schar Ea enthält den Punkt P? |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Februar, 2001 - 10:19: |
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Hi Jenny , Vorbemerkungen Wir werden bald erfahren, dass die gegebene einparametrige Ebenenschar Ea ein Ebenenbüschel darstellt, Darunter versteht man alle Ebenen ,welche durch eine feste Gerade g gehen; g heisst Achse des Ebenenbüschels. Für x1, x2 ,x3 schreibe ich x , y , z . Und nun geht's zur Aufgabe selbst ! a) Setzen wir in Ea für a der Reihe nach a = 0 und a = 1 ein, so erhalten wir die (gekürzten) Ebenengleichungen für E0 : 2x + 4y + z = 5 E1: 6x+ 8y + z = 13 Wir ermitteln zwei Punkte A und B der Schnittgeraden g Der beiden Ebenen. Für A setzen wir z = 0 in die Gleichungen von E1 und E2 ein. Es entsteht das Gleichungssystem : 2 x + 4y = 5 6 x + 8y = 13 mit den Lösungen x = 1.5, y = 0.5 , also: A( 1,5 / 0,5 / 0) Für B setzen wir x = 0;es kommt: 4 y + z = 0 8 y + z = 13 mit den Lösungen y = 2 und z = -3 , also: B( 0 / 2 / - 3 ). Der Vektor AB = r = {-1,5;1,5;-3} ~ - 3/2* {1 ; -1; 2 } ist Ein Richtungsvektor der Schnittgeraden g ;deren Parametergleichung lautet somit: x = 0 + t , y = 2 - t , z = - 3 + 2 t mit t als Parameter. Der Schnittwinkel alpha ergibt sich mit Hilfe der Skalarprodukts aus den Normalenvektoren no , n1 der Ebenen E0 und E1: no = {2 ; 4 ; 1} , n1 = {6 ; 8 ;1} cos (alpha) = (no . n1 ) / [abs(no) * abs(n1) ] = = (12 + 32 + 1) / [ wurzel (2^2+4^2+1^2)*wurzel (6^2+8^2+1^2)] = 45 / [wurzel(21) * wurzel(101)] , daraus alpha ~12.28° b) wir können leicht nachweisen, dass g allen Ebenen der Schar angehört und somit die Achse des Ebenenbüschels darstellt. Wir setzen die Koordinaten x , y . z des laufenden Punktes von g Aus der Geradengleichung in die Ebenengleichung Ea ein, und wir erleben, dass die Gleichung Ea für alle t Werte erfüllt ist: wunderbarerweise heben sich alle Terme weg ! Die Rechnung geht so: (4+2a)* t + 8 * ( 2 -t ) + ( 2 - a ) * (- 3 + 2 t) = (?) 3a + 10 Vereinfachung der linken Seite L. L = 4t + 2at + 16 - 8t - 6 + 3a + 4 t - 2 at = 10 + 3a L stimmt mit der rechten Seite völlig überein; alle Terme mit t Fallen weg ! Fortsetzung folgt ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Februar, 2001 - 13:38: |
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Hi Jenny, Teilaufgabe c) Die Gerade g : x = t , y = 2 - t , z = - 3 + 2 t schneidet die Ebene 2 x - 3 z = 0 in einem Punkt S. Wir setzen x , y , z aus der Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und bekommen eine Gleichung für t , nämlich: 2 t - 3 * ( - 3 + 2 t ) = 0 , daraus t = 9 / 4; damit erhält man für die Koordinaten von S: xS = 2,25, yS = - 0,25 , zS = 1,5. Der Schnittwinkel von g und E sei beta. Wir berechnen zunächst den Winkel gamma des Normalenvektors n = {2; 0; -3} von E und des Richtungsvektors r = {1;-1; 2} von g cos (gamma) = n . r / [abs( n )* abs ( r ) ] = = ( 2 - 6 ) / [wurzel (13 ) * wurzel ( 6 ) ] = - 0.4529. gamma ~ - 63.07°. Wir wählen den Betrag von gamma und ergänzen auf 90° Damit erhalten wir beta ~26.93° Teilaufgabe d) Da g die Ebene E in genau einem Punkt S schneidet (Teilaufgabe c), kann E nicht dem Ebenenbüschel mit g als Achse angehören. Das sieht man auch am folgenden Rechengang Wäre E eine Ebene der Schar Ea , so müsste die fortlaufende Proportion gelten: 2 / (4+2a) = 0 / 8 = -3 /(2-a) = 0 / (3a+10) Schon das erste Gleichheitszeichen führt auf einen Widerspruch ! Wenn Ea auf E senkrecht stehen soll, muss das Skalarprodukt der Normalenvektoren der Ebenen null sein, somit haben wir die Bedingung: (4+2a)*2 +8*0 + (2-a) *(-3) = 0 oder: 8 + 4a - 6 + 3a = 0 , daraus a = - 2 / 7 . Teilaufgabe e ) Die Koordinaten von P (2/8/3) müssen die Gleichung von Ea befriedigen: (4+2a)*2 + 8* 8 +(2-a)*3 = 3a + 10, daraus a = 34. Damit sind alle Fragen beantwortet ! Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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