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Beitrag |
    
Alexander (Alexst)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 20:26: | 
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Hi Leute,
ich brauch dringend bei dieser Aufgabe Hilfe!
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Der Punkt P(u|v) mit 1<=u<=3 liege im Schaubild der Funktion f(x)=ex. Das Schaubild von f, die Parallele zur x-Achse durch P sowie die Geraden mit den Gleichungen x=1 und x=3 begrenzen eine Fläche.
Für welchen Wert von u wird der Inhalt der Fläche ein Extremum? Gib das Extremum an. Zeige, daß es sich um ein Minimum handelt. Für welches Wert u E [1;3] wird der betrachtete Flächeninhalt maximal? Wir groß kann er höchstens werden?
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Ich danke euch.
Mfg
AlexST |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 11:55: |
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Hi Alexander,
In einer Skizze tragen wir die folgenden Punkte ein.
A(1/0), B(u/0) mit 1<u<3,C(3/0)
Auf der Funktionskurve y = e^x liegen die Punkte
S(1 / e ), P(u /e^u),Q(3/e^3).
Auf der Parallelen y = e^u zur x-Achse liegen die Punkte
E( 1 /e^u) , P(u / e^u ), F(3 / e^u)
Die gesuchte Fläche A setzt sich aus zwei Flächenteilen
A1 und A2 zusammen.
A1 wird begrenzt vom Bogen SP und den Strecken SE und EP.
Man erhält A1 als Differenz des Rechtecks ABPE und dem
bestimmten Integral J1 über e^x, untere Grenze 1,obere Grenze u
Somit A1 = (u-1)* e ^ u - J1 = (u-1)*e ^ u - (e ^ u - e)
= u * e ^ u - 2 * e ^ u + e .
Man erhält A2 als Differenz des Integrals J2 über e^x,
untere Grenze u , obere Grenze 3 und dem Rechteck BCFP, also:
A2 = J2 - (3-u)* e ^ u = e ^ 3 - e ^ u - (3 - u) * e ^ u.
= e ^ 3 - 4 * e ^ u + u * e ^ u
Somit stellt sich die Gesamtfläche A als Funktion von u so dar:
A=A(u) = 2 * u * e ^ u - 6 * e ^ u + e ^ 3 + e .
Ir bestimmen die erste und zweite Ableitung (Produktregel!)
A ' = 2 * e ^ u +2*u* e ^ u - 6* e ^ u
A '' = 2*e ^ u + 2 * e ^ u + 2 u * e ^ u - 6 * e ^ u.
A ' ist null für u = 2, da A ' ' (2) positiv ist,
handelt es sich um ein relatives Minimum von A.
Es lieht hier sogar ein absolutes Minimum vor.
Dieses Minimum M beträgt:
M = e^3 - 2 * e ^ 2 + e ~ 8,03
Das gesuchte Maximum ist ein Randmaximum:
Es findet für u = 3 statt (nicht für u = 1).
Der Höchstwert H ist A(3 ) = e^3 + e ~ 22,80.
Damit sind alle Fragen beantwortet; ich wünsche guten Erfolg beim Nachvollzug meiner Ausführungen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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