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Beitrag |
    
Toni
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 16:45: | 
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Wer kann dies zeigen:
Sei Pn(x) = x^n + an-1x^(n-1) + an-2x^(n-2) + ... + a1x + a0
Dann gilt:
Wenn alle Koeffizienten an-1, an-2, ... , a1, a0 ganzzahlig sind, so ist jede rationale Nullstelle dieses Polynoms ganzzahlig und ein Teiler der Zahl a0.
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Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Juli, 2002 - 18:37: |
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Hi Toni,
ich kann dies zeigen :-)
Angenommen, x = p/q ist eine rationale Nullstelle. p und q seien teilerfremd (sonst kürze!)
xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0
(p/q)n + an-1 (p/q)n-1 + ... + a1 p/q + a0 = 0
=> (Multiplikation mit qn)
pn + an-1 pn-1 q + ... + a1 p qn-1 + a0 qn= 0
=>
pn = -q (an-1 pn-1 + ... + a1 p qn-2 + a0 qn-1)
Also ist q ein Teiler von pn. Da p und q teilerfremd sein sollen, muss q = 1 gelten.
Also ist jede Nullstelle ganzzahlig.
Nun folgt aus
xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 = 0,
dass
x(xn-1 + an-1 xn-2 + ... + a1) = -a0.
Also ist x ein Teiler von a0.
Z. |
Toni
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 15:03: |
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Hi Zaph,
Danke für die rasche Antwort!
ging ja schneller als ich dachte... 
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Zaph (zaph)
Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Juli, 2002 - 15:41: |
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Hast du Glück gehabt, geht nicht immer so schnell ... |
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