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Sandra (Sandraa)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Januar, 2001 - 19:49: | 
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Hallo!
Ich soll ein Optimierungsproblem bis Mittwoch 31.01.01 lösen, die Aufgabe ist:
Eine Person, Größe 1,50 m, steht vor einem Plakat, Größe 4 m, daß in 3 m Höhe angebracht ist.
Die Frage ist, wie groß der Sehwinkel sein soll, damit er es am besten sieht. Der Sehwinkel soll möglichst groß sein.
Gruß Sandra |
IQzero
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Januar, 2001 - 23:36: |
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Hi Sandra!
Das ist eine schöne Aufgabe! (LK?)
Der Abstand der Person zur Wand sei x. Der untere Plakatrand ist 1,5m über der Augenhöhe der Person. Für den unteren Höhenwinkel u gilt:
tan(u) = 1,5/x
=> u = atan(1,5/x)
=> u = atan(3/2 x^-1)
Der obere Plakatrand ist 5,5m über der Augenhöhe der Person. Für den oberen Höhenwinkel o gilt:
tan(o) = 5,5/x
=> o = atan(5,5/x)
=> o = atan(11/2 x^-1)
Der Sehwinkel s(x) ist die Differenz des oberen und unteren Winkels:
s(x) = o - u
=> s(x) = atan(11/2 x^-1) - atan(3/2 x^-1)
Damit wäre die Zielfunktion angegeben.
Die Ableitung von atan(x) ist 1/(x²+1).
Die Zielfunktion muss nach Kettenregel abgeleitet werden:
s'(x) = (-11/2 x^-2) / (11/2 x^-1)²+1 - (-3/2 x^-2) / (3/2 x^-1)²+1
=> s'(x) = - 22 / (4x²+121) + 6 / (4x²+9)
Die Ableitung Null setzen:
0 = - 22 / (4x²+121) + 6 / (4x²+9)
=> 0 = 6(4x²+121)-22(4x²+9) / (4x²+121)(4x²+9)
=> 0 = -64x²+528 / (4x²+121)(4x²+9)
=> 0 = -64x²+528
=> x² = 33/4
=> x = 1/2 Ö33 v x = -1/2 Ö33
============
Die negative Lösung entfällt, also:
x ~ 2,87m
========
ist der optimale Abstand, damit der Sehwinkel möglichst gross ist.
Ich hoffe Du kannst den Weg nachvollziehen. Wenn es irgendwo zu schnell ging, dann frag einfach nochmal nach! |
Sandra (Sandraa)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 17:02: |
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Hallo IQzero!
Vielen, vielen Dank für Deine Hilfe.
Es stimmt, ich habe Mathe LK. Wir sind der einzige Kurs, der Optimierungsprobleme lösen soll, obwohl wir im Unterricht Vektoren und Skalare behandeln.
Ich mache mich mal dran, wenn ich es nicht verstehe, melde ich mich noch einmal.
Gruß Sandra |
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