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Beitrag |
    
Katharina
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 13:30: | 
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Ich brauche ganz dringend den Beweis folgendes Satzes:
Jede kubische Funktion hat genau einen Wendepunkt und ist dazu punktsymmetrisch. |
Frank (Norg)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 15:15: |
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Hallo.
Allgemeine kubische Funktion:
f(x) = a*x3 + b*x2 + c*x + d.
Ableitungen:
f'(x) = 3a*x2 + 2b*x + c,
f''(x) = 6a*x + 2b,
f'''(x) = 6a.
Erster Teil:
Einen Wendepunkt gibt es nur dann an der Stelle
xw, wenn f''(xw)=0. Diese Gleichung hat immer genau eine Lösung , wenn a¹0, außerdem ist dann auch die Bedingung f'''(xw)¹0 erfüllt. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 20:45: |
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Hi Katharina
Ich führe Dir den Beweis des zweiten Teils vor.
Er benötigt einen gewissen Rechenaufwand, der
sich jedoch lohnt
Wir geben zuerst die Koordinaten xw und yw des
(einzigen)Wendepunktes W der kubischen Funktion
an:
xw = - b / (3a), durch Einsetzen diese Wertes in die
Funktionsgleichung y = y(x) kommt:
yw = 2 b^3 / (27 a^2) - bc / (3a) + d
Jetzt führen wir eine Parallelverschiebung des
Koordinatensystems durch; neuer Nullpunkt ist W,
die neuen Achsen und die entsprechenden neuen
Koordinaten sollen mit u und v bezeichnet werden
Die Transformationsgleichungen lauten:
x = u + xw , y= v + yw
Wir setzen dies in die Kurvengleichung ein und bekommen
ihre Gleichung in den neuen Koordinaten u,v :
Aus v + y. = y[u+xw] wird:
v + 2 b^3 / (27 a^2)- bc / (3a) + d =
= a [u - b/(3a)]^3 + b [u - b / (3a) ]^2+ c[u-b/3a] + d
Wenn wir geschickt rechnen, erhalten wir die vereinfachte
Gleichung in u , v:
v = a u^3 + [c - b^2 / (3a)] * u ;
Wir stellen mit Nachdruck fest: das quadratische Glied und
die Konstante sind weggefallen; geblieben sind die ungeraden
Potenzen von u auf der rechten Seite der Gleichung,
was darauf hinweist, dass die Kurve punktsymmetrisch
zum neuen Nullpunkt, d.h. zum Wendepunkt ist.
Genau dies war zu beweisen .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Markus
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. März, 2001 - 15:13: |
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Kann mir jemand eine gute Lernsoftware für Mathe empfehlen??? Die Kubischen Funktionen müssten darin enthalten sein. |
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